Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33586 / 34837
↖ ↑ ↗
← S 11.291547°
E  4.493408°		 ← 598.97 m → S 11.291547°
E  4.498901°		 →
↑
599 m
↓
↑
599 m
↓
S 11.296934°
E  4.493408°		 ← 598.95 m →
358 778 m²		 S 11.296934°
E  4.498901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512489318847656 y=0.531578063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512489318847656 × 216)
    floor (0.512489318847656 × 65536)
    floor (33586.5)     		tx = 33586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531578063964844 × 216)
    floor (0.531578063964844 × 65536)
    floor (34837.5)     		ty = 34837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33586 / 34837 ti = "16/33586/34837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33586/34837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33586 ÷ 216
    33586 ÷ 65536     		x = 0.512481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34837 ÷ 216
    34837 ÷ 65536     		y = 0.531570434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512481689453125 × 2 - 1) × π
    0.02496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07842477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531570434570312 × 2 - 1) × π
    -0.063140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.198362890627792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07842477} λ = 0.07842477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198362890627792))-π/2
    2×atan(0.820072202617362)-π/2
    2×0.686860821285372-π/2
    1.37372164257074-1.57079632675     		φ = -0.19707468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07842477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.493408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19707468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.291547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33586 KachelY 34837 0.07842477 -0.19707468 4.493408 -11.291547
    Oben rechts KachelX + 1 33587 KachelY 34837 0.07852064 -0.19707468 4.498901 -11.291547
    Unten links KachelX 33586 KachelY + 1 34838 0.07842477 -0.19716870 4.493408 -11.296934
    Unten rechts KachelX + 1 33587 KachelY + 1 34838 0.07852064 -0.19716870 4.498901 -11.296934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19707468--0.19716870) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dl = 599.001420000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19707468--0.19716870) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dr = 599.001420000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07842477-0.07852064) × cos(-0.19707468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980643554923648 × 6371000     		do = 598.965090076675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07842477-0.07852064) × cos(-0.19716870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980625141334531 × 6371000     		du = 598.95384328164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19707468)-sin(-0.19716870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980643554923648-0.980625141334531)×R²
    abs(0.07852064-0.07842477)×1.84135891172499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84135891172499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84135891172499e-05×40589641000000     		ar = 358777.571327563m²