Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33582 / 34854
↖ ↑ ↗
← S 11.383109°
E  4.471435°		 ← 598.84 m → S 11.383109°
E  4.476929°		 →
↑
598.81 m
↓
↑
598.81 m
↓
S 11.388494°
E  4.471435°		 ← 598.82 m →
358 586 m²		 S 11.388494°
E  4.476929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512428283691406 y=0.531837463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512428283691406 × 216)
    floor (0.512428283691406 × 65536)
    floor (33582.5)     		tx = 33582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531837463378906 × 216)
    floor (0.531837463378906 × 65536)
    floor (34854.5)     		ty = 34854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33582 / 34854 ti = "16/33582/34854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33582/34854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33582 ÷ 216
    33582 ÷ 65536     		x = 0.512420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34854 ÷ 216
    34854 ÷ 65536     		y = 0.531829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512420654296875 × 2 - 1) × π
    0.02484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07804127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.06365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199992745214874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07804127} λ = 0.07804127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199992745214874))-π/2
    2×atan(0.818736692815217)-π/2
    2×0.686061795930512-π/2
    1.37212359186102-1.57079632675     		φ = -0.19867273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07804127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.471435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19867273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.383109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33582 KachelY 34854 0.07804127 -0.19867273 4.471435 -11.383109
    Oben rechts KachelX + 1 33583 KachelY 34854 0.07813715 -0.19867273 4.476929 -11.383109
    Unten links KachelX 33582 KachelY + 1 34855 0.07804127 -0.19876672 4.471435 -11.388494
    Unten rechts KachelX + 1 33583 KachelY + 1 34855 0.07813715 -0.19876672 4.476929 -11.388494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19867273--0.19876672) × R
    9.3990000000016e-05 × 6371000     		dl = 598.810290000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19867273--0.19876672) × R
    9.3990000000016e-05 × 6371000     		dr = 598.810290000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07804127-0.07813715) × cos(-0.19867273) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980329402341619 × 6371000     		do = 598.835666307934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07804127-0.07813715) × cos(-0.19876672) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980310847360893 × 6371000     		du = 598.824331970496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19867273)-sin(-0.19876672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980329402341619-0.980310847360893)×R²
    abs(0.07813715-0.07804127)×1.85549807255603e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.85549807255603e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.85549807255603e-05×40589641000000     		ar = 358585.565709357m²