Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33580 / 34838
↖ ↑ ↗
← S 11.296934°
E  4.460449°		 ← 599.02 m → S 11.296934°
E  4.465942°		 →
↑
599 m
↓
↑
599 m
↓
S 11.302321°
E  4.460449°		 ← 599.01 m →
358 808 m²		 S 11.302321°
E  4.465942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512397766113281 y=0.531593322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512397766113281 × 216)
    floor (0.512397766113281 × 65536)
    floor (33580.5)     		tx = 33580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531593322753906 × 216)
    floor (0.531593322753906 × 65536)
    floor (34838.5)     		ty = 34838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33580 / 34838 ti = "16/33580/34838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33580/34838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33580 ÷ 216
    33580 ÷ 65536     		x = 0.51239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34838 ÷ 216
    34838 ÷ 65536     		y = 0.531585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51239013671875 × 2 - 1) × π
    0.0247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07784952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.06317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.198458764427032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07784952} λ = 0.07784952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198458764427032))-π/2
    2×atan(0.81999358294849)-π/2
    2×0.686813812715055-π/2
    1.37362762543011-1.57079632675     		φ = -0.19716870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07784952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.460449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19716870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.296934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33580 KachelY 34838 0.07784952 -0.19716870 4.460449 -11.296934
    Oben rechts KachelX + 1 33581 KachelY 34838 0.07794540 -0.19716870 4.465942 -11.296934
    Unten links KachelX 33580 KachelY + 1 34839 0.07784952 -0.19726272 4.460449 -11.302321
    Unten rechts KachelX + 1 33581 KachelY + 1 34839 0.07794540 -0.19726272 4.465942 -11.302321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19716870--0.19726272) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dl = 599.001420000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19716870--0.19726272) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dr = 599.001420000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07784952-0.07794540) × cos(-0.19716870) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980625141334531 × 6371000     		do = 599.016318909362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07784952-0.07794540) × cos(-0.19726272) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980606719076922 × 6371000     		du = 599.005065646036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19716870)-sin(-0.19726272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980625141334531-0.980606719076922)×R²
    abs(0.07794540-0.07784952)×1.84222576087301e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.84222576087301e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.84222576087301e-05×40589641000000     		ar = 358808.255533858m²