Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3358 / 870
↖ ↑ ↗
← N 80.371707°
W 32.431641°		 ← 817.29 m → N 80.371707°
W 32.387695°		 →
↑
817.59 m
↓
↑
817.59 m
↓
N 80.364354°
W 32.431641°		 ← 817.91 m →
668 464 m²		 N 80.364354°
W 32.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40997314453125 y=0.10626220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40997314453125 × 213)
    floor (0.40997314453125 × 8192)
    floor (3358.5)     		tx = 3358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10626220703125 × 213)
    floor (0.10626220703125 × 8192)
    floor (870.5)     		ty = 870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3358 / 870 ti = "13/3358/870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3358/870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3358 ÷ 213
    3358 ÷ 8192     		x = 0.409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 870 ÷ 213
    870 ÷ 8192     		y = 0.106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106201171875 × 2 - 1) × π
    0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56603891} λ = -0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47431101078882))-π/2
    2×atan(11.8735235646001)-π/2
    2×1.48677361741532-π/2
    2.97354723483065-1.57079632675     		φ = 1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3358 KachelY 870 -0.56603891 1.40275091 -32.431641 80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 3359 KachelY 870 -0.56527192 1.40275091 -32.387695 80.371707
    Unten links KachelX 3358 KachelY + 1 871 -0.56603891 1.40262258 -32.431641 80.364354
    Unten rechts KachelX + 1 3359 KachelY + 1 871 -0.56527192 1.40262258 -32.387695 80.364354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40275091-1.40262258) × R
    0.000128329999999899 × 6371000     		dl = 817.590429999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40275091-1.40262258) × R
    0.000128329999999899 × 6371000     		dr = 817.590429999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56603891--0.56527192) × cos(1.40275091) × R
    0.000766989999999912 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 817.293463326731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56603891--0.56527192) × cos(1.40262258) × R
    0.000766989999999912 × 0.167382140599574 × 6371000     		du = 817.911706905561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40275091)-sin(1.40262258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.167382140599574)×R²
    abs(-0.56527192--0.56603891)×0.000126520910219086×R²
    0.000766989999999912×0.000126520910219086×6371000²
    0.000766989999999912×0.000126520910219086×40589641000000     		ar = 668464.050054202m²