Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33579 / 34843
↖ ↑ ↗
← S 11.323867°
E  4.454956°		 ← 598.90 m → S 11.323867°
E  4.460449°		 →
↑
598.94 m
↓
↑
598.94 m
↓
S 11.329253°
E  4.454956°		 ← 598.89 m →
358 699 m²		 S 11.329253°
E  4.460449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512382507324219 y=0.531669616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512382507324219 × 216)
    floor (0.512382507324219 × 65536)
    floor (33579.5)     		tx = 33579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531669616699219 × 216)
    floor (0.531669616699219 × 65536)
    floor (34843.5)     		ty = 34843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33579 / 34843 ti = "16/33579/34843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33579/34843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33579 ÷ 216
    33579 ÷ 65536     		x = 0.512374877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34843 ÷ 216
    34843 ÷ 65536     		y = 0.531661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512374877929688 × 2 - 1) × π
    0.024749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07775365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531661987304688 × 2 - 1) × π
    -0.063323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.198938133423233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07775365} λ = 0.07775365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198938133423233))-π/2
    2×atan(0.819600597647751)-π/2
    2×0.686578783114391-π/2
    1.37315756622878-1.57079632675     		φ = -0.19763876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07775365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.454956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19763876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.323867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33579 KachelY 34843 0.07775365 -0.19763876 4.454956 -11.323867
    Oben rechts KachelX + 1 33580 KachelY 34843 0.07784952 -0.19763876 4.460449 -11.323867
    Unten links KachelX 33579 KachelY + 1 34844 0.07775365 -0.19773277 4.454956 -11.329253
    Unten rechts KachelX + 1 33580 KachelY + 1 34844 0.07784952 -0.19773277 4.460449 -11.329253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19763876--0.19773277) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dl = 598.937710000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19763876--0.19773277) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dr = 598.937710000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07775365-0.07784952) × cos(-0.19763876) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.980532951219018 × 6371000     		do = 598.897534686657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07775365-0.07784952) × cos(-0.19773277) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.980514487589553 × 6371000     		du = 598.886257327589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19763876)-sin(-0.19773277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980532951219018-0.980514487589553)×R²
    abs(0.07784952-0.07775365)×1.84636294653373e-05×R²
    9.58700000000118e-05×1.84636294653373e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×1.84636294653373e-05×40589641000000     		ar = 358698.94099624m²