Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33578 / 34860
↖ ↑ ↗
← S 11.415418°
E  4.449463°		 ← 598.71 m → S 11.415418°
E  4.454956°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
S 11.420803°
E  4.449463°		 ← 598.69 m →
358 469 m²		 S 11.420803°
E  4.454956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512367248535156 y=0.531929016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512367248535156 × 216)
    floor (0.512367248535156 × 65536)
    floor (33578.5)     		tx = 33578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531929016113281 × 216)
    floor (0.531929016113281 × 65536)
    floor (34860.5)     		ty = 34860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33578 / 34860 ti = "16/33578/34860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33578/34860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33578 ÷ 216
    33578 ÷ 65536     		x = 0.512359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34860 ÷ 216
    34860 ÷ 65536     		y = 0.53192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512359619140625 × 2 - 1) × π
    0.02471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07765778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.200567988010315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07765778} λ = 0.07765778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200567988010315))-π/2
    2×atan(0.818265855867077)-π/2
    2×0.685779848238537-π/2
    1.37155969647707-1.57079632675     		φ = -0.19923663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07765778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.449463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19923663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.415418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33578 KachelY 34860 0.07765778 -0.19923663 4.449463 -11.415418
    Oben rechts KachelX + 1 33579 KachelY 34860 0.07775365 -0.19923663 4.454956 -11.415418
    Unten links KachelX 33578 KachelY + 1 34861 0.07765778 -0.19933061 4.449463 -11.420803
    Unten rechts KachelX + 1 33579 KachelY + 1 34861 0.07775365 -0.19933061 4.454956 -11.420803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19923663--0.19933061) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19923663--0.19933061) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07765778-0.07775365) × cos(-0.19923663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980217950474636 × 6371000     		do = 598.70513608436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07765778-0.07775365) × cos(-0.19933061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980199345519087 × 6371000     		du = 598.693772405049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19923663)-sin(-0.19933061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980217950474636-0.980199345519087)×R²
    abs(0.07775365-0.07765778)×1.86049555490619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86049555490619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86049555490619e-05×40589641000000     		ar = 358469.250940696m²