Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33577 / 34861
↖ ↑ ↗
← S 11.420803°
E  4.443970°		 ← 598.76 m → S 11.420803°
E  4.449463°		 →
↑
598.68 m
↓
↑
598.68 m
↓
S 11.426187°
E  4.443970°		 ← 598.74 m →
358 462 m²		 S 11.426187°
E  4.449463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512351989746094 y=0.531944274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512351989746094 × 216)
    floor (0.512351989746094 × 65536)
    floor (33577.5)     		tx = 33577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531944274902344 × 216)
    floor (0.531944274902344 × 65536)
    floor (34861.5)     		ty = 34861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33577 / 34861 ti = "16/33577/34861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33577/34861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33577 ÷ 216
    33577 ÷ 65536     		x = 0.512344360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34861 ÷ 216
    34861 ÷ 65536     		y = 0.531936645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512344360351562 × 2 - 1) × π
    0.024688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07756190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531936645507812 × 2 - 1) × π
    -0.063873291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.200663861809555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07756190} λ = 0.07756190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200663861809555))-π/2
    2×atan(0.818187409371228)-π/2
    2×0.685732860074924-π/2
    1.37146572014985-1.57079632675     		φ = -0.19933061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07756190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.443970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19933061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.420803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33577 KachelY 34861 0.07756190 -0.19933061 4.443970 -11.420803
    Oben rechts KachelX + 1 33578 KachelY 34861 0.07765778 -0.19933061 4.449463 -11.420803
    Unten links KachelX 33577 KachelY + 1 34862 0.07756190 -0.19942458 4.443970 -11.426187
    Unten rechts KachelX + 1 33578 KachelY + 1 34862 0.07765778 -0.19942458 4.449463 -11.426187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19933061--0.19942458) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dl = 598.682869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19933061--0.19942458) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dr = 598.682869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07756190-0.07765778) × cos(-0.19933061) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980199345519087 × 6371000     		do = 598.756220905319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07756190-0.07765778) × cos(-0.19942458) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980180733887235 × 6371000     		du = 598.744851962458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19933061)-sin(-0.19942458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980199345519087-0.980180733887235)×R²
    abs(0.07765778-0.07756190)×1.86116318516838e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.86116318516838e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.86116318516838e-05×40589641000000     		ar = 358461.689830029m²