Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33576 / 101432
↖ ↑ ↗
← S 69.710489°
W 87.780762°		 ← 105.91 m → S 69.710489°
W 87.778015°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
S 69.711441°
W 87.780762°		 ← 105.91 m →
11 214 m²		 S 69.711441°
W 87.778015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256168365478516 y=0.773868560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256168365478516 × 217)
    floor (0.256168365478516 × 131072)
    floor (33576.5)     		tx = 33576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773868560791016 × 217)
    floor (0.773868560791016 × 131072)
    floor (101432.5)     		ty = 101432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33576 / 101432 ti = "17/33576/101432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33576/101432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33576 ÷ 217
    33576 ÷ 131072     		x = 0.25616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101432 ÷ 217
    101432 ÷ 131072     		y = 0.77386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53206331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53206331} λ = -1.53206331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72074294876154))-π/2
    2×atan(0.17893316034626)-π/2
    2×0.177059387526256-π/2
    0.354118775052511-1.57079632675     		φ = -1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53206331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.780762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33576 KachelY 101432 -1.53206331 -1.21667755 -87.780762 -69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 33577 KachelY 101432 -1.53201537 -1.21667755 -87.778015 -69.710489
    Unten links KachelX 33576 KachelY + 1 101433 -1.53206331 -1.21669417 -87.780762 -69.711441
    Unten rechts KachelX + 1 33577 KachelY + 1 101433 -1.53201537 -1.21669417 -87.778015 -69.711441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21667755--1.21669417) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21667755--1.21669417) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53206331--1.53201537) × cos(-1.21667755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 105.910637419781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53206331--1.53201537) × cos(-1.21669417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346748365719932 × 6371000     		du = 105.905876193731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21667755)-sin(-1.21669417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.346748365719932)×R²
    abs(-1.53201537--1.53206331)×1.55888172684304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55888172684304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55888172684304e-05×40589641000000     		ar = 11214.2037985817m²