Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33575 / 34887
↖ ↑ ↗
← S 11.560762°
E  4.432984°		 ← 598.40 m → S 11.560762°
E  4.438477°		 →
↑
598.43 m
↓
↑
598.43 m
↓
S 11.566144°
E  4.432984°		 ← 598.39 m →
358 094 m²		 S 11.566144°
E  4.438477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512321472167969 y=0.532341003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512321472167969 × 216)
    floor (0.512321472167969 × 65536)
    floor (33575.5)     		tx = 33575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532341003417969 × 216)
    floor (0.532341003417969 × 65536)
    floor (34887.5)     		ty = 34887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33575 / 34887 ti = "16/33575/34887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33575/34887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33575 ÷ 216
    33575 ÷ 65536     		x = 0.512313842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34887 ÷ 216
    34887 ÷ 65536     		y = 0.532333374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512313842773438 × 2 - 1) × π
    0.024627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07737016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532333374023438 × 2 - 1) × π
    -0.064666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.203156580589798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07737016} λ = 0.07737016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.203156580589798))-π/2
    2×atan(0.816150438103149)-π/2
    2×0.68451148208632-π/2
    1.36902296417264-1.57079632675     		φ = -0.20177336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07737016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.432984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20177336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.560762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33575 KachelY 34887 0.07737016 -0.20177336 4.432984 -11.560762
    Oben rechts KachelX + 1 33576 KachelY 34887 0.07746603 -0.20177336 4.438477 -11.560762
    Unten links KachelX 33575 KachelY + 1 34888 0.07737016 -0.20186729 4.432984 -11.566144
    Unten rechts KachelX + 1 33576 KachelY + 1 34888 0.07746603 -0.20186729 4.438477 -11.566144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20177336--0.20186729) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dl = 598.42802999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20177336--0.20186729) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dr = 598.42802999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07737016-0.07746603) × cos(-0.20177336) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.979712724722371 × 6371000     		do = 598.396550373874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07737016-0.07746603) × cos(-0.20186729) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		du = 598.38505012332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20177336)-sin(-0.20186729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979712724722371-0.979693896168297)×R²
    abs(0.07746603-0.07737016)×1.88285540730915e-05×R²
    9.58700000000118e-05×1.88285540730915e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×1.88285540730915e-05×40589641000000     		ar = 358093.828026168m²