Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33574 / 34886
↖ ↑ ↗
← S 11.555380°
E  4.427490°		 ← 598.47 m → S 11.555380°
E  4.432984°		 →
↑
598.43 m
↓
↑
598.43 m
↓
S 11.560762°
E  4.427490°		 ← 598.46 m →
358 138 m²		 S 11.560762°
E  4.432984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512306213378906 y=0.532325744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512306213378906 × 216)
    floor (0.512306213378906 × 65536)
    floor (33574.5)     		tx = 33574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532325744628906 × 216)
    floor (0.532325744628906 × 65536)
    floor (34886.5)     		ty = 34886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33574 / 34886 ti = "16/33574/34886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33574/34886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33574 ÷ 216
    33574 ÷ 65536     		x = 0.512298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34886 ÷ 216
    34886 ÷ 65536     		y = 0.532318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512298583984375 × 2 - 1) × π
    0.02459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07727428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.06463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.203060706790558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07727428} λ = 0.07727428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.203060706790558))-π/2
    2×atan(0.816228689297461)-π/2
    2×0.684558446927952-π/2
    1.3691168938559-1.57079632675     		φ = -0.20167943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07727428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.427490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20167943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.555380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33574 KachelY 34886 0.07727428 -0.20167943 4.427490 -11.555380
    Oben rechts KachelX + 1 33575 KachelY 34886 0.07737016 -0.20167943 4.432984 -11.555380
    Unten links KachelX 33574 KachelY + 1 34887 0.07727428 -0.20177336 4.427490 -11.560762
    Unten rechts KachelX + 1 33575 KachelY + 1 34887 0.07737016 -0.20177336 4.432984 -11.560762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20167943--0.20177336) × R
    9.39300000000198e-05 × 6371000     		dl = 598.428030000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20167943--0.20177336) × R
    9.39300000000198e-05 × 6371000     		dr = 598.428030000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07727428-0.07737016) × cos(-0.20167943) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97973154463259 × 6371000     		do = 598.470464041458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07727428-0.07737016) × cos(-0.20177336) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979712724722371 × 6371000     		du = 598.458967871447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20167943)-sin(-0.20177336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97973154463259-0.979712724722371)×R²
    abs(0.07737016-0.07727428)×1.88199102196807e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88199102196807e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88199102196807e-05×40589641000000     		ar = 358138.061257714m²