Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33571 / 23391
↖ ↑ ↗
← N 45.710015°
E  4.411011°		 ← 426.51 m → N 45.710015°
E  4.416504°		 →
↑
426.54 m
↓
↑
426.54 m
↓
N 45.706179°
E  4.411011°		 ← 426.54 m →
181 928 m²		 N 45.706179°
E  4.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512260437011719 y=0.356925964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512260437011719 × 216)
    floor (0.512260437011719 × 65536)
    floor (33571.5)     		tx = 33571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356925964355469 × 216)
    floor (0.356925964355469 × 65536)
    floor (23391.5)     		ty = 23391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33571 / 23391 ti = "16/33571/23391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33571/23391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33571 ÷ 216
    33571 ÷ 65536     		x = 0.512252807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23391 ÷ 216
    23391 ÷ 65536     		y = 0.356918334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512252807617188 × 2 - 1) × π
    0.024505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07698666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356918334960938 × 2 - 1) × π
    0.286163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.899008615474533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07698666} λ = 0.07698666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.899008615474533))-π/2
    2×atan(2.45716590699662)-π/2
    2×1.18429329692093-π/2
    2.36858659384186-1.57079632675     		φ = 0.79779027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07698666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.411011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79779027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.710015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33571 KachelY 23391 0.07698666 0.79779027 4.411011 45.710015
    Oben rechts KachelX + 1 33572 KachelY 23391 0.07708253 0.79779027 4.416504 45.710015
    Unten links KachelX 33571 KachelY + 1 23392 0.07698666 0.79772332 4.411011 45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 33572 KachelY + 1 23392 0.07708253 0.79772332 4.416504 45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79779027-0.79772332) × R
    6.69500000000101e-05 × 6371000     		dl = 426.538450000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79779027-0.79772332) × R
    6.69500000000101e-05 × 6371000     		dr = 426.538450000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07698666-0.07708253) × cos(0.79779027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698290170355647 × 6371000     		do = 426.507095964436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07698666-0.07708253) × cos(0.79772332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 426.536366280293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79779027)-sin(0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698290170355647-0.698338092591969)×R²
    abs(0.07708253-0.07698666)×4.79222363219955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79222363219955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79222363219955e-05×40589641000000     		ar = 181927.918152064m²