Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3357 / 1321
↖ ↑ ↗
← N 53.696707°
E115.048828°		 ← 5 786.19 m → N 53.696707°
E115.136719°		 →
↑
5 789.77 m
↓
↑
5 789.77 m
↓
N 53.644638°
E115.048828°		 ← 5 793.34 m →
33 521 443 m²		 N 53.644638°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8197021484375 y=0.3226318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8197021484375 × 212)
    floor (0.8197021484375 × 4096)
    floor (3357.5)     		tx = 3357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3226318359375 × 212)
    floor (0.3226318359375 × 4096)
    floor (1321.5)     		ty = 1321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3357 / 1321 ti = "12/3357/1321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3357/1321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3357 ÷ 212
    3357 ÷ 4096     		x = 0.819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1321 ÷ 212
    1321 ÷ 4096     		y = 0.322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819580078125 × 2 - 1) × π
    0.63916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00798085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322509765625 × 2 - 1) × π
    0.35498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11520403276099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00798085} λ = 2.00798085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11520403276099))-π/2
    2×atan(3.05019045447821)-π/2
    2×1.25399032612351-π/2
    2.50798065224703-1.57079632675     		φ = 0.93718433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00798085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93718433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.696707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3357 KachelY 1321 2.00798085 0.93718433 115.048828 53.696707
    Oben rechts KachelX + 1 3358 KachelY 1321 2.00951483 0.93718433 115.136719 53.696707
    Unten links KachelX 3357 KachelY + 1 1322 2.00798085 0.93627556 115.048828 53.644638
    Unten rechts KachelX + 1 3358 KachelY + 1 1322 2.00951483 0.93627556 115.136719 53.644638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93718433-0.93627556) × R
    0.000908770000000003 × 6371000     		dl = 5789.77367000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93718433-0.93627556) × R
    0.000908770000000003 × 6371000     		dr = 5789.77367000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00798085-2.00951483) × cos(0.93718433) × R
    0.00153398000000005 × 0.592059501225734 × 6371000     		do = 5786.18956004076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00798085-2.00951483) × cos(0.93627556) × R
    0.00153398000000005 × 0.592791629165245 × 6371000     		du = 5793.34463656845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93718433)-sin(0.93627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592059501225734-0.592791629165245)×R²
    abs(2.00951483-2.00798085)×0.000732127939511273×R²
    0.00153398000000005×0.000732127939511273×6371000²
    0.00153398000000005×0.000732127939511273×40589641000000     		ar = 33521443.4082049m²