Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33569 / 101455
↖ ↑ ↗
← S 69.732383°
W 87.799988°		 ← 105.80 m → S 69.732383°
W 87.797241°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
S 69.733334°
W 87.799988°		 ← 105.80 m →
11 189 m²		 S 69.733334°
W 87.797241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256114959716797 y=0.774044036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256114959716797 × 217)
    floor (0.256114959716797 × 131072)
    floor (33569.5)     		tx = 33569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774044036865234 × 217)
    floor (0.774044036865234 × 131072)
    floor (101455.5)     		ty = 101455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33569 / 101455 ti = "17/33569/101455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33569/101455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33569 ÷ 217
    33569 ÷ 131072     		x = 0.256111145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101455 ÷ 217
    101455 ÷ 131072     		y = 0.774040222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256111145019531 × 2 - 1) × π
    -0.487777709960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.53239887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774040222167969 × 2 - 1) × π
    -0.548080444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7218454974528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53239887} λ = -1.53239887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7218454974528))-π/2
    2×atan(0.178735986541331)-π/2
    2×0.17686832426962-π/2
    0.353736648539241-1.57079632675     		φ = -1.21705968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53239887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.799988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21705968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.732383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33569 KachelY 101455 -1.53239887 -1.21705968 -87.799988 -69.732383
    Oben rechts KachelX + 1 33570 KachelY 101455 -1.53235093 -1.21705968 -87.797241 -69.732383
    Unten links KachelX 33569 KachelY + 1 101456 -1.53239887 -1.21707628 -87.799988 -69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 33570 KachelY + 1 101456 -1.53235093 -1.21707628 -87.797241 -69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21705968--1.21707628) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21705968--1.21707628) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53239887--1.53235093) × cos(-1.21705968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346405509466259 × 6371000     		do = 105.80115906874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53239887--1.53235093) × cos(-1.21707628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 105.796402900754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21705968)-sin(-1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346405509466259-0.346389937209692)×R²
    abs(-1.53235093--1.53239887)×1.5572256566232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5572256566232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5572256566232e-05×40589641000000     		ar = 11189.130958827m²