Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33567 / 23393
↖ ↑ ↗
← N 45.702343°
E  4.389038°		 ← 426.57 m → N 45.702343°
E  4.394531°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
N 45.698506°
E  4.389038°		 ← 426.59 m →
181 980 m²		 N 45.698506°
E  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512199401855469 y=0.356956481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512199401855469 × 216)
    floor (0.512199401855469 × 65536)
    floor (33567.5)     		tx = 33567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356956481933594 × 216)
    floor (0.356956481933594 × 65536)
    floor (23393.5)     		ty = 23393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33567 / 23393 ti = "16/33567/23393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33567/23393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33567 ÷ 216
    33567 ÷ 65536     		x = 0.512191772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23393 ÷ 216
    23393 ÷ 65536     		y = 0.356948852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512191772460938 × 2 - 1) × π
    0.024383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07660317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356948852539062 × 2 - 1) × π
    0.286102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.898816867876053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07660317} λ = 0.07660317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.898816867876053))-π/2
    2×atan(2.45669479650348)-π/2
    2×1.18422634459463-π/2
    2.36845268918926-1.57079632675     		φ = 0.79765636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07660317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.389038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79765636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.702343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33567 KachelY 23393 0.07660317 0.79765636 4.389038 45.702343
    Oben rechts KachelX + 1 33568 KachelY 23393 0.07669904 0.79765636 4.394531 45.702343
    Unten links KachelX 33567 KachelY + 1 23394 0.07660317 0.79758940 4.389038 45.698506
    Unten rechts KachelX + 1 33568 KachelY + 1 23394 0.07669904 0.79758940 4.394531 45.698506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79765636-0.79758940) × R
    6.69599999999493e-05 × 6371000     		dl = 426.602159999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79765636-0.79758940) × R
    6.69599999999493e-05 × 6371000     		dr = 426.602159999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07660317-0.07669904) × cos(0.79765636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698386018855341 × 6371000     		do = 426.565639055823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07660317-0.07669904) × cos(0.79758940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698433941987401 × 6371000     		du = 426.594909918785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79765636)-sin(0.79758940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698386018855341-0.698433941987401)×R²
    abs(0.07669904-0.07660317)×4.79231320597018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79231320597018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79231320597018e-05×40589641000000     		ar = 181980.066577426m²