Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33567 / 101435
↖ ↑ ↗
← S 69.713346°
W 87.805481°		 ← 105.87 m → S 69.713346°
W 87.802735°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
S 69.714298°
W 87.805481°		 ← 105.87 m →
11 210 m²		 S 69.714298°
W 87.802735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256099700927734 y=0.773891448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256099700927734 × 217)
    floor (0.256099700927734 × 131072)
    floor (33567.5)     		tx = 33567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773891448974609 × 217)
    floor (0.773891448974609 × 131072)
    floor (101435.5)     		ty = 101435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33567 / 101435 ti = "17/33567/101435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33567/101435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33567 ÷ 217
    33567 ÷ 131072     		x = 0.256095886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101435 ÷ 217
    101435 ÷ 131072     		y = 0.773887634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256095886230469 × 2 - 1) × π
    -0.487808227539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.53249474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773887634277344 × 2 - 1) × π
    -0.547775268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7208867594604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53249474} λ = -1.53249474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7208867594604))-π/2
    2×atan(0.178907429693637)-π/2
    2×0.177034455024643-π/2
    0.354068910049286-1.57079632675     		φ = -1.21672742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53249474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.805481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21672742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.713346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33567 KachelY 101435 -1.53249474 -1.21672742 -87.805481 -69.713346
    Oben rechts KachelX + 1 33568 KachelY 101435 -1.53244681 -1.21672742 -87.802735 -69.713346
    Unten links KachelX 33567 KachelY + 1 101436 -1.53249474 -1.21674404 -87.805481 -69.714298
    Unten rechts KachelX + 1 33568 KachelY + 1 101436 -1.53244681 -1.21674404 -87.802735 -69.714298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21672742--1.21674404) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21672742--1.21674404) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53249474--1.53244681) × cos(-1.21672742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346717178418361 × 6371000     		do = 105.874261437768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53249474--1.53244681) × cos(-1.21674404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346701589313707 × 6371000     		du = 105.869501117125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21672742)-sin(-1.21674404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346717178418361-0.346701589313707)×R²
    abs(-1.53244681--1.53249474)×1.55891046542123e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55891046542123e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55891046542123e-05×40589641000000     		ar = 11210.3521386018m²