Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33566 / 23392
↖ ↑ ↗
← N 45.706179°
E  4.383545°		 ← 426.58 m → N 45.706179°
E  4.389038°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
N 45.702343°
E  4.383545°		 ← 426.61 m →
181 987 m²		 N 45.702343°
E  4.389038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512184143066406 y=0.356941223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512184143066406 × 216)
    floor (0.512184143066406 × 65536)
    floor (33566.5)     		tx = 33566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356941223144531 × 216)
    floor (0.356941223144531 × 65536)
    floor (23392.5)     		ty = 23392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33566 / 23392 ti = "16/33566/23392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33566/23392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33566 ÷ 216
    33566 ÷ 65536     		x = 0.512176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23392 ÷ 216
    23392 ÷ 65536     		y = 0.35693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512176513671875 × 2 - 1) × π
    0.02435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07650729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35693359375 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07650729} λ = 0.07650729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.898912741675293))-π/2
    2×atan(2.45693034045826)-π/2
    2×1.1842598219064-π/2
    2.36851964381281-1.57079632675     		φ = 0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07650729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.383545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33566 KachelY 23392 0.07650729 0.79772332 4.383545 45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 33567 KachelY 23392 0.07660317 0.79772332 4.389038 45.706179
    Unten links KachelX 33566 KachelY + 1 23393 0.07650729 0.79765636 4.383545 45.702343
    Unten rechts KachelX + 1 33567 KachelY + 1 23393 0.07660317 0.79765636 4.389038 45.702343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79772332-0.79765636) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dl = 426.602160000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79772332-0.79765636) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dr = 426.602160000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07650729-0.07660317) × cos(0.79772332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 426.580857400149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07650729-0.07660317) × cos(0.79765636) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.698386018855341 × 6371000     		du = 426.61013322906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79772332)-sin(0.79765636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.698386018855341)×R²
    abs(0.07660317-0.07650729)×4.79262633723554e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79262633723554e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79262633723554e-05×40589641000000     		ar = 181986.55981589m²