Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33566 / 101436
↖ ↑ ↗
← S 69.714298°
W 87.808227°		 ← 105.89 m → S 69.714298°
W 87.805481°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
S 69.715250°
W 87.808227°		 ← 105.89 m →
11 212 m²		 S 69.715250°
W 87.805481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256092071533203 y=0.773899078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256092071533203 × 217)
    floor (0.256092071533203 × 131072)
    floor (33566.5)     		tx = 33566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773899078369141 × 217)
    floor (0.773899078369141 × 131072)
    floor (101436.5)     		ty = 101436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33566 / 101436 ti = "17/33566/101436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33566/101436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33566 ÷ 217
    33566 ÷ 131072     		x = 0.256088256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101436 ÷ 217
    101436 ÷ 131072     		y = 0.773895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256088256835938 × 2 - 1) × π
    -0.487823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53254268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.54779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72093469636002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53254268} λ = -1.53254268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72093469636002))-π/2
    2×atan(0.178898853631695)-π/2
    2×0.177026144938107-π/2
    0.354052289876215-1.57079632675     		φ = -1.21674404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53254268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.808227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21674404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.714298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33566 KachelY 101436 -1.53254268 -1.21674404 -87.808227 -69.714298
    Oben rechts KachelX + 1 33567 KachelY 101436 -1.53249474 -1.21674404 -87.805481 -69.714298
    Unten links KachelX 33566 KachelY + 1 101437 -1.53254268 -1.21676066 -87.808227 -69.715250
    Unten rechts KachelX + 1 33567 KachelY + 1 101437 -1.53249474 -1.21676066 -87.805481 -69.715250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21674404--1.21676066) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21674404--1.21676066) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53254268--1.53249474) × cos(-1.21674404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346701589313707 × 6371000     		do = 105.891589475246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53254268--1.53249474) × cos(-1.21676066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346686000113285 × 6371000     		du = 105.886828132171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21674404)-sin(-1.21676066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346701589313707-0.346686000113285)×R²
    abs(-1.53249474--1.53254268)×1.55892004216063e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55892004216063e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55892004216063e-05×40589641000000     		ar = 11212.1868815463m²