Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33565 / 101403
↖ ↑ ↗
← S 69.682851°
W 87.810974°		 ← 106.05 m → S 69.682851°
W 87.808227°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
S 69.683804°
W 87.810974°		 ← 106.04 m →
11 242 m²		 S 69.683804°
W 87.808227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256084442138672 y=0.773647308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256084442138672 × 217)
    floor (0.256084442138672 × 131072)
    floor (33565.5)     		tx = 33565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773647308349609 × 217)
    floor (0.773647308349609 × 131072)
    floor (101403.5)     		ty = 101403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33565 / 101403 ti = "17/33565/101403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33565/101403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33565 ÷ 217
    33565 ÷ 131072     		x = 0.256080627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101403 ÷ 217
    101403 ÷ 131072     		y = 0.773643493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256080627441406 × 2 - 1) × π
    -0.487838745117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.53259062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773643493652344 × 2 - 1) × π
    -0.547286987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71935277867255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53259062} λ = -1.53259062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71935277867255))-π/2
    2×atan(0.179182080854535)-π/2
    2×0.177300575164269-π/2
    0.354601150328537-1.57079632675     		φ = -1.21619518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53259062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.810974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21619518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.682851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33565 KachelY 101403 -1.53259062 -1.21619518 -87.810974 -69.682851
    Oben rechts KachelX + 1 33566 KachelY 101403 -1.53254268 -1.21619518 -87.808227 -69.682851
    Unten links KachelX 33565 KachelY + 1 101404 -1.53259062 -1.21621182 -87.810974 -69.683804
    Unten rechts KachelX + 1 33566 KachelY + 1 101404 -1.53254268 -1.21621182 -87.808227 -69.683804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21619518--1.21621182) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dl = 106.013440000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21619518--1.21621182) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dr = 106.013440000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53259062--1.53254268) × cos(-1.21619518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347216354290369 × 6371000     		do = 106.048811949169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53259062--1.53254268) × cos(-1.21621182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347200749499038 × 6371000     		du = 106.044045844229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21619518)-sin(-1.21621182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347216354290369-0.347200749499038)×R²
    abs(-1.53254268--1.53259062)×1.56047913310586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56047913310586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56047913310586e-05×40589641000000     		ar = 11242.3467272349m²