Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33561 / 34855
↖ ↑ ↗
← S 11.388494°
E  4.356079°		 ← 598.82 m → S 11.388494°
E  4.361572°		 →
↑
598.81 m
↓
↑
598.81 m
↓
S 11.393879°
E  4.356079°		 ← 598.81 m →
358 579 m²		 S 11.393879°
E  4.361572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512107849121094 y=0.531852722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512107849121094 × 216)
    floor (0.512107849121094 × 65536)
    floor (33561.5)     		tx = 33561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531852722167969 × 216)
    floor (0.531852722167969 × 65536)
    floor (34855.5)     		ty = 34855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33561 / 34855 ti = "16/33561/34855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33561/34855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33561 ÷ 216
    33561 ÷ 65536     		x = 0.512100219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34855 ÷ 216
    34855 ÷ 65536     		y = 0.531845092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512100219726562 × 2 - 1) × π
    0.024200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07602792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.063690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.200088619014114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07602792} λ = 0.07602792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200088619014114))-π/2
    2×atan(0.818658201180605)-π/2
    2×0.686014802423091-π/2
    1.37202960484618-1.57079632675     		φ = -0.19876672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07602792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.356079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19876672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.388494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33561 KachelY 34855 0.07602792 -0.19876672 4.356079 -11.388494
    Oben rechts KachelX + 1 33562 KachelY 34855 0.07612380 -0.19876672 4.361572 -11.388494
    Unten links KachelX 33561 KachelY + 1 34856 0.07602792 -0.19886071 4.356079 -11.393879
    Unten rechts KachelX + 1 33562 KachelY + 1 34856 0.07612380 -0.19886071 4.361572 -11.393879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19876672--0.19886071) × R
    9.39899999999882e-05 × 6371000     		dl = 598.810289999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19876672--0.19886071) × R
    9.39899999999882e-05 × 6371000     		dr = 598.810289999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07602792-0.07612380) × cos(-0.19876672) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980310847360893 × 6371000     		do = 598.824331970496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07602792-0.07612380) × cos(-0.19886071) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980292283719984 × 6371000     		du = 598.812992342973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19876672)-sin(-0.19886071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980310847360893-0.980292283719984)×R²
    abs(0.07612380-0.07602792)×1.85636409093526e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.85636409093526e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.85636409093526e-05×40589641000000     		ar = 358578.777007339m²