Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33559 / 34853
↖ ↑ ↗
← S 11.377724°
E  4.345093°		 ← 598.78 m → S 11.377724°
E  4.350586°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
S 11.383109°
E  4.345093°		 ← 598.77 m →
358 517 m²		 S 11.383109°
E  4.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512077331542969 y=0.531822204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512077331542969 × 216)
    floor (0.512077331542969 × 65536)
    floor (33559.5)     		tx = 33559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531822204589844 × 216)
    floor (0.531822204589844 × 65536)
    floor (34853.5)     		ty = 34853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33559 / 34853 ti = "16/33559/34853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33559/34853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33559 ÷ 216
    33559 ÷ 65536     		x = 0.512069702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34853 ÷ 216
    34853 ÷ 65536     		y = 0.531814575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512069702148438 × 2 - 1) × π
    0.024139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07583618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531814575195312 × 2 - 1) × π
    -0.063629150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199896871415634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07583618} λ = 0.07583618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199896871415634))-π/2
    2×atan(0.818815191975481)-π/2
    2×0.686108790327174-π/2
    1.37221758065435-1.57079632675     		φ = -0.19857875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07583618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.345093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19857875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.377724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33559 KachelY 34853 0.07583618 -0.19857875 4.345093 -11.377724
    Oben rechts KachelX + 1 33560 KachelY 34853 0.07593205 -0.19857875 4.350586 -11.377724
    Unten links KachelX 33559 KachelY + 1 34854 0.07583618 -0.19867273 4.345093 -11.383109
    Unten rechts KachelX + 1 33560 KachelY + 1 34854 0.07593205 -0.19867273 4.350586 -11.383109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19857875--0.19867273) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19857875--0.19867273) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07583618-0.07593205) × cos(-0.19857875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980347946689235 × 6371000     		do = 598.784536182383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07583618-0.07593205) × cos(-0.19867273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980329402341619 × 6371000     		du = 598.773209521657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19857875)-sin(-0.19867273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980347946689235-0.980329402341619)×R²
    abs(0.07593205-0.07583618)×1.85443476158342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85443476158342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85443476158342e-05×40589641000000     		ar = 358516.802560193m²