Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33559 / 101401
↖ ↑ ↗
← S 69.680944°
W 87.827454°		 ← 106.06 m → S 69.680944°
W 87.824707°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
S 69.681897°
W 87.827454°		 ← 106.05 m →
11 243 m²		 S 69.681897°
W 87.824707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256038665771484 y=0.773632049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256038665771484 × 217)
    floor (0.256038665771484 × 131072)
    floor (33559.5)     		tx = 33559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773632049560547 × 217)
    floor (0.773632049560547 × 131072)
    floor (101401.5)     		ty = 101401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33559 / 101401 ti = "17/33559/101401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33559/101401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33559 ÷ 217
    33559 ÷ 131072     		x = 0.256034851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101401 ÷ 217
    101401 ÷ 131072     		y = 0.773628234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256034851074219 × 2 - 1) × π
    -0.487930297851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.53287824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773628234863281 × 2 - 1) × π
    -0.547256469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71925690487331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53287824} λ = -1.53287824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71925690487331))-π/2
    2×atan(0.17919926054491)-π/2
    2×0.177317220388213-π/2
    0.354634440776426-1.57079632675     		φ = -1.21616189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53287824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.827454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21616189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.680944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33559 KachelY 101401 -1.53287824 -1.21616189 -87.827454 -69.680944
    Oben rechts KachelX + 1 33560 KachelY 101401 -1.53283030 -1.21616189 -87.824707 -69.680944
    Unten links KachelX 33559 KachelY + 1 101402 -1.53287824 -1.21617853 -87.827454 -69.681897
    Unten rechts KachelX + 1 33560 KachelY + 1 101402 -1.53283030 -1.21617853 -87.824707 -69.681897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21616189--1.21617853) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dl = 106.013440000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21616189--1.21617853) × R
    1.66400000001232e-05 × 6371000     		dr = 106.013440000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53287824--1.53283030) × cos(-1.21616189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34724757296234 × 6371000     		do = 106.058346935157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53287824--1.53283030) × cos(-1.21617853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347231968363352 × 6371000     		du = 106.053580888964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21616189)-sin(-1.21617853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34724757296234-0.347231968363352)×R²
    abs(-1.53283030--1.53287824)×1.56045989877507e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56045989877507e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56045989877507e-05×40589641000000     		ar = 11243.3575671028m²