Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33557 / 101454
↖ ↑ ↗
← S 69.731431°
W 87.832947°		 ← 105.78 m → S 69.731431°
W 87.830200°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
S 69.732383°
W 87.832947°		 ← 105.78 m →
11 194 m²		 S 69.732383°
W 87.830200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256023406982422 y=0.774036407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256023406982422 × 217)
    floor (0.256023406982422 × 131072)
    floor (33557.5)     		tx = 33557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774036407470703 × 217)
    floor (0.774036407470703 × 131072)
    floor (101454.5)     		ty = 101454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33557 / 101454 ti = "17/33557/101454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33557/101454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33557 ÷ 217
    33557 ÷ 131072     		x = 0.256019592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101454 ÷ 217
    101454 ÷ 131072     		y = 0.774032592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256019592285156 × 2 - 1) × π
    -0.487960815429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.53297411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774032592773438 × 2 - 1) × π
    -0.548065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72179756055318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53297411} λ = -1.53297411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72179756055318))-π/2
    2×atan(0.178744554795743)-π/2
    2×0.176876627259413-π/2
    0.353753254518827-1.57079632675     		φ = -1.21704307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53297411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.832947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21704307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.731431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33557 KachelY 101454 -1.53297411 -1.21704307 -87.832947 -69.731431
    Oben rechts KachelX + 1 33558 KachelY 101454 -1.53292618 -1.21704307 -87.830200 -69.731431
    Unten links KachelX 33557 KachelY + 1 101455 -1.53297411 -1.21705968 -87.832947 -69.732383
    Unten rechts KachelX + 1 33558 KachelY + 1 101455 -1.53292618 -1.21705968 -87.830200 -69.732383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21704307--1.21705968) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dl = 105.822310000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21704307--1.21705968) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dr = 105.822310000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53297411--1.53292618) × cos(-1.21704307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346421091008161 × 6371000     		do = 105.783847585131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53297411--1.53292618) × cos(-1.21705968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346405509466259 × 6371000     		du = 105.779089573866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21704307)-sin(-1.21705968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346421091008161-0.346405509466259)×R²
    abs(-1.53292618--1.53297411)×1.558154190201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.558154190201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.558154190201e-05×40589641000000     		ar = 11194.0393605562m²