Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33551 / 34856
↖ ↑ ↗
← S 11.393879°
E  4.301147°		 ← 598.81 m → S 11.393879°
E  4.306641°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
S 11.399264°
E  4.301147°		 ← 598.80 m →
358 534 m²		 S 11.399264°
E  4.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511955261230469 y=0.531867980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511955261230469 × 216)
    floor (0.511955261230469 × 65536)
    floor (33551.5)     		tx = 33551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531867980957031 × 216)
    floor (0.531867980957031 × 65536)
    floor (34856.5)     		ty = 34856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33551 / 34856 ti = "16/33551/34856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33551/34856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33551 ÷ 216
    33551 ÷ 65536     		x = 0.511947631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34856 ÷ 216
    34856 ÷ 65536     		y = 0.5318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511947631835938 × 2 - 1) × π
    0.023895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07506918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5318603515625 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.200184492813354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07506918} λ = 0.07506918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200184492813354))-π/2
    2×atan(0.818579717070924)-π/2
    2×0.685967809805309-π/2
    1.37193561961062-1.57079632675     		φ = -0.19886071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07506918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.301147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19886071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.393879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33551 KachelY 34856 0.07506918 -0.19886071 4.301147 -11.393879
    Oben rechts KachelX + 1 33552 KachelY 34856 0.07516506 -0.19886071 4.306641 -11.393879
    Unten links KachelX 33551 KachelY + 1 34857 0.07506918 -0.19895469 4.301147 -11.399264
    Unten rechts KachelX + 1 33552 KachelY + 1 34857 0.07516506 -0.19895469 4.306641 -11.399264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19886071--0.19895469) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19886071--0.19895469) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07506918-0.07516506) × cos(-0.19886071) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980292283719984 × 6371000     		do = 598.812992342973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07506918-0.07516506) × cos(-0.19895469) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980273713395502 × 6371000     		du = 598.801648632779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19886071)-sin(-0.19895469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980292283719984-0.980273713395502)×R²
    abs(0.07516506-0.07506918)×1.85703244814928e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.85703244814928e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.85703244814928e-05×40589641000000     		ar = 358533.835484941m²