Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33551 / 101791
↖ ↑ ↗
← S 70.049659°
W 87.849426°		 ← 104.19 m → S 70.049659°
W 87.846680°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.050596°
W 87.849426°		 ← 104.19 m →
10 860 m²		 S 70.050596°
W 87.846680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255977630615234 y=0.776607513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255977630615234 × 217)
    floor (0.255977630615234 × 131072)
    floor (33551.5)     		tx = 33551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776607513427734 × 217)
    floor (0.776607513427734 × 131072)
    floor (101791.5)     		ty = 101791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33551 / 101791 ti = "17/33551/101791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33551/101791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33551 ÷ 217
    33551 ÷ 131072     		x = 0.255973815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101791 ÷ 217
    101791 ÷ 131072     		y = 0.776603698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255973815917969 × 2 - 1) × π
    -0.488052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.53326173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776603698730469 × 2 - 1) × π
    -0.553207397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73795229572514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53326173} λ = -1.53326173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73795229572514))-π/2
    2×atan(0.175880182729635)-π/2
    2×0.1740995667437-π/2
    0.348199133487399-1.57079632675     		φ = -1.22259719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53326173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.849426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22259719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.049659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33551 KachelY 101791 -1.53326173 -1.22259719 -87.849426 -70.049659
    Oben rechts KachelX + 1 33552 KachelY 101791 -1.53321380 -1.22259719 -87.846680 -70.049659
    Unten links KachelX 33551 KachelY + 1 101792 -1.53326173 -1.22261355 -87.849426 -70.050596
    Unten rechts KachelX + 1 33552 KachelY + 1 101792 -1.53321380 -1.22261355 -87.846680 -70.050596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22259719--1.22261355) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22259719--1.22261355) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53326173--1.53321380) × cos(-1.22259719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341205570588181 × 6371000     		do = 104.191225682179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53326173--1.53321380) × cos(-1.22261355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341190192327367 × 6371000     		du = 104.186529745239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22259719)-sin(-1.22261355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341205570588181-0.341190192327367)×R²
    abs(-1.53321380--1.53326173)×1.5378260814658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5378260814658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5378260814658e-05×40589641000000     		ar = 10859.5608812828m²