Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33547 / 24489
↖ ↑ ↗
← N 41.339700°
E  4.279175°		 ← 458.58 m → N 41.339700°
E  4.284668°		 →
↑
458.58 m
↓
↑
458.58 m
↓
N 41.335576°
E  4.279175°		 ← 458.61 m →
210 306 m²		 N 41.335576°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511894226074219 y=0.373680114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511894226074219 × 216)
    floor (0.511894226074219 × 65536)
    floor (33547.5)     		tx = 33547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373680114746094 × 216)
    floor (0.373680114746094 × 65536)
    floor (24489.5)     		ty = 24489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33547 / 24489 ti = "16/33547/24489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33547/24489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33547 ÷ 216
    33547 ÷ 65536     		x = 0.511886596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24489 ÷ 216
    24489 ÷ 65536     		y = 0.373672485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511886596679688 × 2 - 1) × π
    0.023773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07468569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373672485351562 × 2 - 1) × π
    0.252655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79373918390889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07468569} λ = 0.07468569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79373918390889))-π/2
    2×atan(2.21165075332406)-π/2
    2×1.14615510534052-π/2
    2.29231021068104-1.57079632675     		φ = 0.72151388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07468569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.279175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72151388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.339700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33547 KachelY 24489 0.07468569 0.72151388 4.279175 41.339700
    Oben rechts KachelX + 1 33548 KachelY 24489 0.07478156 0.72151388 4.284668 41.339700
    Unten links KachelX 33547 KachelY + 1 24490 0.07468569 0.72144190 4.279175 41.335576
    Unten rechts KachelX + 1 33548 KachelY + 1 24490 0.07478156 0.72144190 4.284668 41.335576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72151388-0.72144190) × R
    7.19800000000825e-05 × 6371000     		dl = 458.584580000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72151388-0.72144190) × R
    7.19800000000825e-05 × 6371000     		dr = 458.584580000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07468569-0.07478156) × cos(0.72151388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750806638748691 × 6371000     		do = 458.583512582499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07468569-0.07478156) × cos(0.72144190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75085418118149 × 6371000     		du = 458.612550919008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72151388)-sin(0.72144190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750806638748691-0.75085418118149)×R²
    abs(0.07478156-0.07468569)×4.75424327988083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75424327988083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75424327988083e-05×40589641000000     		ar = 210305.985870326m²