Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33545 / 34857
↖ ↑ ↗
← S 11.399264°
E  4.268188°		 ← 598.80 m → S 11.399264°
E  4.273682°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
S 11.404649°
E  4.268188°		 ← 598.79 m →
358 527 m²		 S 11.404649°
E  4.273682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511863708496094 y=0.531883239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511863708496094 × 216)
    floor (0.511863708496094 × 65536)
    floor (33545.5)     		tx = 33545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531883239746094 × 216)
    floor (0.531883239746094 × 65536)
    floor (34857.5)     		ty = 34857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33545 / 34857 ti = "16/33545/34857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33545/34857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33545 ÷ 216
    33545 ÷ 65536     		x = 0.511856079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34857 ÷ 216
    34857 ÷ 65536     		y = 0.531875610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511856079101562 × 2 - 1) × π
    0.023712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07449394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531875610351562 × 2 - 1) × π
    -0.063751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.200280366612595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07449394} λ = 0.07449394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200280366612595))-π/2
    2×atan(0.818501240485452)-π/2
    2×0.685920818077565-π/2
    1.37184163615513-1.57079632675     		φ = -0.19895469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07449394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.268188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19895469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.399264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33545 KachelY 34857 0.07449394 -0.19895469 4.268188 -11.399264
    Oben rechts KachelX + 1 33546 KachelY 34857 0.07458982 -0.19895469 4.273682 -11.399264
    Unten links KachelX 33545 KachelY + 1 34858 0.07449394 -0.19904867 4.268188 -11.404649
    Unten rechts KachelX + 1 33546 KachelY + 1 34858 0.07458982 -0.19904867 4.273682 -11.404649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19895469--0.19904867) × R
    9.39800000000213e-05 × 6371000     		dl = 598.746580000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19895469--0.19904867) × R
    9.39800000000213e-05 × 6371000     		dr = 598.746580000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07449394-0.07458982) × cos(-0.19895469) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980273713395502 × 6371000     		do = 598.801648632779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07449394-0.07458982) × cos(-0.19904867) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.980255134413008 × 6371000     		du = 598.790299633825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19895469)-sin(-0.19904867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980273713395502-0.980255134413008)×R²
    abs(0.07458982-0.07449394)×1.8578982494688e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.8578982494688e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.8578982494688e-05×40589641000000     		ar = 358527.041894058m²