Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33545 / 24488
↖ ↑ ↗
← N 41.343824°
E  4.268188°		 ← 458.60 m → N 41.343824°
E  4.273682°		 →
↑
458.58 m
↓
↑
458.58 m
↓
N 41.339700°
E  4.268188°		 ← 458.63 m →
210 315 m²		 N 41.339700°
E  4.273682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511863708496094 y=0.373664855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511863708496094 × 216)
    floor (0.511863708496094 × 65536)
    floor (33545.5)     		tx = 33545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373664855957031 × 216)
    floor (0.373664855957031 × 65536)
    floor (24488.5)     		ty = 24488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33545 / 24488 ti = "16/33545/24488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33545/24488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33545 ÷ 216
    33545 ÷ 65536     		x = 0.511856079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24488 ÷ 216
    24488 ÷ 65536     		y = 0.3736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511856079101562 × 2 - 1) × π
    0.023712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07449394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07449394} λ = 0.07449394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79383505770813))-π/2
    2×atan(2.2118628028492)-π/2
    2×1.14619109554326-π/2
    2.29238219108652-1.57079632675     		φ = 0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07449394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.268188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33545 KachelY 24488 0.07449394 0.72158586 4.268188 41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 33546 KachelY 24488 0.07458982 0.72158586 4.273682 41.343824
    Unten links KachelX 33545 KachelY + 1 24489 0.07449394 0.72151388 4.268188 41.339700
    Unten rechts KachelX + 1 33546 KachelY + 1 24489 0.07458982 0.72151388 4.273682 41.339700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72158586-0.72151388) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dl = 458.584579999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72158586-0.72151388) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dr = 458.584579999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07449394-0.07458982) × cos(0.72158586) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 458.602302731832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07449394-0.07458982) × cos(0.72151388) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.750806638748691 × 6371000     		du = 458.631346473494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72158586)-sin(0.72151388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750806638748691)×R²
    abs(0.07458982-0.07449394)×4.7546322818337e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.7546322818337e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.7546322818337e-05×40589641000000     		ar = 210314.603981762m²