Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3354 / 1574
↖ ↑ ↗
← N 38.410558°
E114.785156°		 ← 7 657.91 m → N 38.410558°
E114.873047°		 →
↑
7 661.57 m
↓
↑
7 661.57 m
↓
N 38.341656°
E114.785156°		 ← 7 665.20 m →
58 699 574 m²		 N 38.341656°
E114.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8189697265625 y=0.3843994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8189697265625 × 212)
    floor (0.8189697265625 × 4096)
    floor (3354.5)     		tx = 3354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3843994140625 × 212)
    floor (0.3843994140625 × 4096)
    floor (1574.5)     		ty = 1574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3354 / 1574 ti = "12/3354/1574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3354/1574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3354 ÷ 212
    3354 ÷ 4096     		x = 0.81884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1574 ÷ 212
    1574 ÷ 4096     		y = 0.38427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81884765625 × 2 - 1) × π
    0.6376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00337891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38427734375 × 2 - 1) × π
    0.2314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.727106893437012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00337891} λ = 2.00337891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.727106893437012))-π/2
    2×atan(2.06908585426093)-π/2
    2×1.12059351789335-π/2
    2.2411870357867-1.57079632675     		φ = 0.67039071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00337891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67039071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.410558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3354 KachelY 1574 2.00337891 0.67039071 114.785156 38.410558
    Oben rechts KachelX + 1 3355 KachelY 1574 2.00491289 0.67039071 114.873047 38.410558
    Unten links KachelX 3354 KachelY + 1 1575 2.00337891 0.66918814 114.785156 38.341656
    Unten rechts KachelX + 1 3355 KachelY + 1 1575 2.00491289 0.66918814 114.873047 38.341656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67039071-0.66918814) × R
    0.0012025699999999 × 6371000     		dl = 7661.57346999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67039071-0.66918814) × R
    0.0012025699999999 × 6371000     		dr = 7661.57346999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00337891-2.00491289) × cos(0.67039071) × R
    0.00153398000000005 × 0.783578980625153 × 6371000     		do = 7657.90686201993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00337891-2.00491289) × cos(0.66918814) × R
    0.00153398000000005 × 0.784325561193957 × 6371000     		du = 7665.20318389974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67039071)-sin(0.66918814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783578980625153-0.784325561193957)×R²
    abs(2.00491289-2.00337891)×0.000746580568804722×R²
    0.00153398000000005×0.000746580568804722×6371000²
    0.00153398000000005×0.000746580568804722×40589641000000     		ar = 58699573.7770048m²