Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33527 / 101551
↖ ↑ ↗
← S 69.823523°
W 87.915344°		 ← 105.35 m → S 69.823523°
W 87.912597°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.824471°
W 87.915344°		 ← 105.34 m →
11 094 m²		 S 69.824471°
W 87.912597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255794525146484 y=0.774776458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255794525146484 × 217)
    floor (0.255794525146484 × 131072)
    floor (33527.5)     		tx = 33527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774776458740234 × 217)
    floor (0.774776458740234 × 131072)
    floor (101551.5)     		ty = 101551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33527 / 101551 ti = "17/33527/101551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33527/101551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33527 ÷ 217
    33527 ÷ 131072     		x = 0.255790710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101551 ÷ 217
    101551 ÷ 131072     		y = 0.774772644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255790710449219 × 2 - 1) × π
    -0.488418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.53441222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774772644042969 × 2 - 1) × π
    -0.549545288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72644743981632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53441222} λ = -1.53441222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72644743981632))-π/2
    2×atan(0.177915343557126)-π/2
    2×0.176072973512673-π/2
    0.352145947025346-1.57079632675     		φ = -1.21865038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53441222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.915344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21865038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.823523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33527 KachelY 101551 -1.53441222 -1.21865038 -87.915344 -69.823523
    Oben rechts KachelX + 1 33528 KachelY 101551 -1.53436428 -1.21865038 -87.912597 -69.823523
    Unten links KachelX 33527 KachelY + 1 101552 -1.53441222 -1.21866691 -87.915344 -69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 33528 KachelY + 1 101552 -1.53436428 -1.21866691 -87.912597 -69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21865038--1.21866691) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21865038--1.21866691) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53441222--1.53436428) × cos(-1.21865038) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344912860233685 × 6371000     		do = 105.345265572809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53441222--1.53436428) × cos(-1.21866691) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 105.340526685106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21865038)-sin(-1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344912860233685-0.344897344554807)×R²
    abs(-1.53436428--1.53441222)×1.55156788781419e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55156788781419e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55156788781419e-05×40589641000000     		ar = 11093.9374433891m²