Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33526 / 24455
↖ ↑ ↗
← N 41.479776°
E  4.163818°		 ← 457.60 m → N 41.479776°
E  4.169311°		 →
↑
457.63 m
↓
↑
457.63 m
↓
N 41.475660°
E  4.163818°		 ← 457.62 m →
209 416 m²		 N 41.475660°
E  4.169311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511573791503906 y=0.373161315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511573791503906 × 216)
    floor (0.511573791503906 × 65536)
    floor (33526.5)     		tx = 33526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373161315917969 × 216)
    floor (0.373161315917969 × 65536)
    floor (24455.5)     		ty = 24455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33526 / 24455 ti = "16/33526/24455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33526/24455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33526 ÷ 216
    33526 ÷ 65536     		x = 0.511566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24455 ÷ 216
    24455 ÷ 65536     		y = 0.373153686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511566162109375 × 2 - 1) × π
    0.02313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07267234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373153686523438 × 2 - 1) × π
    0.253692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.796998893083054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07267234} λ = 0.07267234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796998893083054))-π/2
    2×atan(2.21887185452552)-π/2
    2×1.14737749332083-π/2
    2.29475498664167-1.57079632675     		φ = 0.72395866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07267234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72395866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.479776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33526 KachelY 24455 0.07267234 0.72395866 4.163818 41.479776
    Oben rechts KachelX + 1 33527 KachelY 24455 0.07276821 0.72395866 4.169311 41.479776
    Unten links KachelX 33526 KachelY + 1 24456 0.07267234 0.72388683 4.163818 41.475660
    Unten rechts KachelX + 1 33527 KachelY + 1 24456 0.07276821 0.72388683 4.169311 41.475660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72395866-0.72388683) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dl = 457.628929999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72395866-0.72388683) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dr = 457.628929999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07267234-0.07276821) × cos(0.72395866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.749189565470993 × 6371000     		do = 457.595824001287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07267234-0.07276821) × cos(0.72388683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.749237140543895 × 6371000     		du = 457.624882273972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72395866)-sin(0.72388683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749189565470993-0.749237140543895)×R²
    abs(0.07276821-0.07267234)×4.75750729025393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75750729025393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75750729025393e-05×40589641000000     		ar = 209415.736353622m²