Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33520 / 101555
↖ ↑ ↗
← S 69.827312°
W 87.934570°		 ← 105.33 m → S 69.827312°
W 87.931824°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.828260°
W 87.934570°		 ← 105.32 m →
11 092 m²		 S 69.828260°
W 87.931824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255741119384766 y=0.774806976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255741119384766 × 217)
    floor (0.255741119384766 × 131072)
    floor (33520.5)     		tx = 33520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774806976318359 × 217)
    floor (0.774806976318359 × 131072)
    floor (101555.5)     		ty = 101555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33520 / 101555 ti = "17/33520/101555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33520/101555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33520 ÷ 217
    33520 ÷ 131072     		x = 0.2557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101555 ÷ 217
    101555 ÷ 131072     		y = 0.774803161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53474778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774803161621094 × 2 - 1) × π
    -0.549606323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7266391874148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53474778} λ = -1.53474778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7266391874148))-π/2
    2×atan(0.177881231987777)-π/2
    2×0.176039908381995-π/2
    0.35207981676399-1.57079632675     		φ = -1.21871651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53474778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21871651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.827312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33520 KachelY 101555 -1.53474778 -1.21871651 -87.934570 -69.827312
    Oben rechts KachelX + 1 33521 KachelY 101555 -1.53469984 -1.21871651 -87.931824 -69.827312
    Unten links KachelX 33520 KachelY + 1 101556 -1.53474778 -1.21873304 -87.934570 -69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 33521 KachelY + 1 101556 -1.53469984 -1.21873304 -87.931824 -69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21871651--1.21873304) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21871651--1.21873304) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53474778--1.53469984) × cos(-1.21871651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344850787566174 × 6371000     		do = 105.326306981912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53474778--1.53469984) × cos(-1.21873304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 105.321567979067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21871651)-sin(-1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344850787566174-0.344835271510304)×R²
    abs(-1.53469984--1.53474778)×1.5516055869913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5516055869913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5516055869913e-05×40589641000000     		ar = 11091.940858406m²