Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33518 / 101686
↖ ↑ ↗
← S 69.951025°
W 87.940063°		 ← 104.69 m → S 69.951025°
W 87.937317°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.951967°
W 87.940063°		 ← 104.68 m →
10 958 m²		 S 69.951967°
W 87.937317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255725860595703 y=0.775806427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255725860595703 × 217)
    floor (0.255725860595703 × 131072)
    floor (33518.5)     		tx = 33518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775806427001953 × 217)
    floor (0.775806427001953 × 131072)
    floor (101686.5)     		ty = 101686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33518 / 101686 ti = "17/33518/101686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33518/101686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33518 ÷ 217
    33518 ÷ 131072     		x = 0.255722045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101686 ÷ 217
    101686 ÷ 131072     		y = 0.775802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255722045898438 × 2 - 1) × π
    -0.488555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53484365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775802612304688 × 2 - 1) × π
    -0.551605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73291892126503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53484365} λ = -1.53484365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73291892126503))-π/2
    2×atan(0.176767685241936)-π/2
    2×0.174960308629454-π/2
    0.349920617258908-1.57079632675     		φ = -1.22087571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53484365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.940063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22087571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.951025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33518 KachelY 101686 -1.53484365 -1.22087571 -87.940063 -69.951025
    Oben rechts KachelX + 1 33519 KachelY 101686 -1.53479572 -1.22087571 -87.937317 -69.951025
    Unten links KachelX 33518 KachelY + 1 101687 -1.53484365 -1.22089214 -87.940063 -69.951967
    Unten rechts KachelX + 1 33519 KachelY + 1 101687 -1.53479572 -1.22089214 -87.937317 -69.951967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22087571--1.22089214) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dl = 104.675529999014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22087571--1.22089214) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dr = 104.675529999014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53484365--1.53479572) × cos(-1.22087571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342823235958379 × 6371000     		do = 104.685199263484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53484365--1.53479572) × cos(-1.22089214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342807801571254 × 6371000     		du = 104.6804861877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22087571)-sin(-1.22089214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342823235958379-0.342807801571254)×R²
    abs(-1.53479572--1.53484365)×1.54343871242579e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54343871242579e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54343871242579e-05×40589641000000     		ar = 10957.7320442683m²