Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33511 / 101672
↖ ↑ ↗
← S 69.937839°
W 87.959290°		 ← 104.77 m → S 69.937839°
W 87.956543°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.938781°
W 87.959290°		 ← 104.77 m →
10 980 m²		 S 69.938781°
W 87.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255672454833984 y=0.775699615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255672454833984 × 217)
    floor (0.255672454833984 × 131072)
    floor (33511.5)     		tx = 33511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775699615478516 × 217)
    floor (0.775699615478516 × 131072)
    floor (101672.5)     		ty = 101672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33511 / 101672 ti = "17/33511/101672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33511/101672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33511 ÷ 217
    33511 ÷ 131072     		x = 0.255668640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101672 ÷ 217
    101672 ÷ 131072     		y = 0.77569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255668640136719 × 2 - 1) × π
    -0.488662719726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.53517921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.5513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73224780467035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53517921} λ = -1.53517921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73224780467035))-π/2
    2×atan(0.176886356785672)-π/2
    2×0.175075382079969-π/2
    0.350150764159939-1.57079632675     		φ = -1.22064556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53517921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.959290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22064556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.937839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33511 KachelY 101672 -1.53517921 -1.22064556 -87.959290 -69.937839
    Oben rechts KachelX + 1 33512 KachelY 101672 -1.53513127 -1.22064556 -87.956543 -69.937839
    Unten links KachelX 33511 KachelY + 1 101673 -1.53517921 -1.22066201 -87.959290 -69.938781
    Unten rechts KachelX + 1 33512 KachelY + 1 101673 -1.53513127 -1.22066201 -87.956543 -69.938781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22064556--1.22066201) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dl = 104.802950001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22064556--1.22066201) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dr = 104.802950001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53517921--1.53513127) × cos(-1.22064556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343039429770903 × 6371000     		do = 104.773071686887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53517921--1.53513127) × cos(-1.22066201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343023977893965 × 6371000     		du = 104.768352285939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22064556)-sin(-1.22066201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343039429770903-0.343023977893965)×R²
    abs(-1.53513127--1.53517921)×1.54518769382439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54518769382439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54518769382439e-05×40589641000000     		ar = 10980.2796902101m²