Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3351 / 6393
↖ ↑ ↗
← S 70.510241°
W 32.739258°		 ← 1 630.32 m → S 70.510241°
W 32.695312°		 →
↑
1 629.70 m
↓
↑
1 629.70 m
↓
S 70.524897°
W 32.739258°		 ← 1 629.14 m →
2 655 978 m²		 S 70.524897°
W 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40911865234375 y=0.78045654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40911865234375 × 213)
    floor (0.40911865234375 × 8192)
    floor (3351.5)     		tx = 3351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78045654296875 × 213)
    floor (0.78045654296875 × 8192)
    floor (6393.5)     		ty = 6393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3351 / 6393 ti = "13/3351/6393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3351/6393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3351 ÷ 213
    3351 ÷ 8192     		x = 0.4090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6393 ÷ 213
    6393 ÷ 8192     		y = 0.7803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57140784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57140784} λ = -0.57140784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7617769348363))-π/2
    2×atan(0.171739422765913)-π/2
    2×0.170080235241142-π/2
    0.340160470482285-1.57079632675     		φ = -1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57140784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.739258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3351 KachelY 6393 -0.57140784 -1.23063586 -32.739258 -70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 3352 KachelY 6393 -0.57064085 -1.23063586 -32.695312 -70.510241
    Unten links KachelX 3351 KachelY + 1 6394 -0.57140784 -1.23089166 -32.739258 -70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 3352 KachelY + 1 6394 -0.57064085 -1.23089166 -32.695312 -70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23063586--1.23089166) × R
    0.000255799999999917 × 6371000     		dl = 1629.70179999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23063586--1.23089166) × R
    0.000255799999999917 × 6371000     		dr = 1629.70179999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57140784--0.57064085) × cos(-1.23063586) × R
    0.000766990000000023 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 1630.32164977368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57140784--0.57064085) × cos(-1.23089166) × R
    0.000766990000000023 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 1629.14325303287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23063586)-sin(-1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333397214801624)×R²
    abs(-0.57064085--0.57140784)×0.000241153864513788×R²
    0.000766990000000023×0.000241153864513788×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241153864513788×40589641000000     		ar = 2655977.9240526m²