Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33508 / 101603
↖ ↑ ↗
← S 69.872727°
W 87.967529°		 ← 105.10 m → S 69.872727°
W 87.964782°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.873672°
W 87.967529°		 ← 105.09 m →
11 041 m²		 S 69.873672°
W 87.964782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255649566650391 y=0.775173187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255649566650391 × 217)
    floor (0.255649566650391 × 131072)
    floor (33508.5)     		tx = 33508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775173187255859 × 217)
    floor (0.775173187255859 × 131072)
    floor (101603.5)     		ty = 101603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33508 / 101603 ti = "17/33508/101603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33508/101603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33508 ÷ 217
    33508 ÷ 131072     		x = 0.255645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101603 ÷ 217
    101603 ÷ 131072     		y = 0.775169372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.48870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53532302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775169372558594 × 2 - 1) × π
    -0.550338745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72894015859657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53532302} λ = -1.53532302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72894015859657))-π/2
    2×atan(0.177472402931512)-π/2
    2×0.175643590703755-π/2
    0.35128718140751-1.57079632675     		φ = -1.21950915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53532302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.967529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21950915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.872727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33508 KachelY 101603 -1.53532302 -1.21950915 -87.967529 -69.872727
    Oben rechts KachelX + 1 33509 KachelY 101603 -1.53527508 -1.21950915 -87.964782 -69.872727
    Unten links KachelX 33508 KachelY + 1 101604 -1.53532302 -1.21952564 -87.967529 -69.873672
    Unten rechts KachelX + 1 33509 KachelY + 1 101604 -1.53527508 -1.21952564 -87.964782 -69.873672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21950915--1.21952564) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21950915--1.21952564) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53532302--1.53527508) × cos(-1.21950915) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344106661818663 × 6371000     		do = 105.099031825313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53532302--1.53527508) × cos(-1.21952564) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344091178806867 × 6371000     		du = 105.094302914977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21950915)-sin(-1.21952564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344106661818663-0.344091178806867)×R²
    abs(-1.53527508--1.53532302)×1.54830117957694e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54830117957694e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54830117957694e-05×40589641000000     		ar = 11041.2236105996m²