Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33504 / 101661
↖ ↑ ↗
← S 69.927472°
W 87.978516°		 ← 104.82 m → S 69.927472°
W 87.975769°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.928415°
W 87.978516°		 ← 104.82 m →
10 986 m²		 S 69.928415°
W 87.975769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255619049072266 y=0.775615692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255619049072266 × 217)
    floor (0.255619049072266 × 131072)
    floor (33504.5)     		tx = 33504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775615692138672 × 217)
    floor (0.775615692138672 × 131072)
    floor (101661.5)     		ty = 101661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33504 / 101661 ti = "17/33504/101661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33504/101661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33504 ÷ 217
    33504 ÷ 131072     		x = 0.255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101661 ÷ 217
    101661 ÷ 131072     		y = 0.775611877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.48876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53551477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775611877441406 × 2 - 1) × π
    -0.551223754882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.73172049877453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53551477} λ = -1.53551477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73172049877453))-π/2
    2×atan(0.176979654600577)-π/2
    2×0.175165847838158-π/2
    0.350331695676315-1.57079632675     		φ = -1.22046463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53551477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22046463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.927472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33504 KachelY 101661 -1.53551477 -1.22046463 -87.978516 -69.927472
    Oben rechts KachelX + 1 33505 KachelY 101661 -1.53546683 -1.22046463 -87.975769 -69.927472
    Unten links KachelX 33504 KachelY + 1 101662 -1.53551477 -1.22048108 -87.978516 -69.928415
    Unten rechts KachelX + 1 33505 KachelY + 1 101662 -1.53546683 -1.22048108 -87.975769 -69.928415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22046463--1.22048108) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dl = 104.802950001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22046463--1.22048108) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dr = 104.802950001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53551477--1.53546683) × cos(-1.22046463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343209375504521 × 6371000     		do = 104.824977488337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53551477--1.53546683) × cos(-1.22048108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3431939246488 × 6371000     		du = 104.820258399295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22046463)-sin(-1.22048108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343209375504521-0.3431939246488)×R²
    abs(-1.53546683--1.53551477)×1.54508557206334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54508557206334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54508557206334e-05×40589641000000     		ar = 10985.719587494m²