Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33500 / 23308
↖ ↑ ↗
← N 46.027482°
E  4.020996°		 ← 424.08 m → N 46.027482°
E  4.026489°		 →
↑
424.05 m
↓
↑
424.05 m
↓
N 46.023668°
E  4.020996°		 ← 424.11 m →
179 838 m²		 N 46.023668°
E  4.026489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511177062988281 y=0.355659484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511177062988281 × 216)
    floor (0.511177062988281 × 65536)
    floor (33500.5)     		tx = 33500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355659484863281 × 216)
    floor (0.355659484863281 × 65536)
    floor (23308.5)     		ty = 23308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33500 / 23308 ti = "16/33500/23308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33500/23308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33500 ÷ 216
    33500 ÷ 65536     		x = 0.51116943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23308 ÷ 216
    23308 ÷ 65536     		y = 0.35565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51116943359375 × 2 - 1) × π
    0.0223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07017962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35565185546875 × 2 - 1) × π
    0.2886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.906966140811462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07017962} λ = 0.07017962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.906966140811462))-π/2
    2×atan(2.47679687031302)-π/2
    2×1.18706371575236-π/2
    2.37412743150473-1.57079632675     		φ = 0.80333110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07017962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80333110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.027482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33500 KachelY 23308 0.07017962 0.80333110 4.020996 46.027482
    Oben rechts KachelX + 1 33501 KachelY 23308 0.07027549 0.80333110 4.026489 46.027482
    Unten links KachelX 33500 KachelY + 1 23309 0.07017962 0.80326454 4.020996 46.023668
    Unten rechts KachelX + 1 33501 KachelY + 1 23309 0.07027549 0.80326454 4.026489 46.023668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80333110-0.80326454) × R
    6.65599999999378e-05 × 6371000     		dl = 424.053759999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80333110-0.80326454) × R
    6.65599999999378e-05 × 6371000     		dr = 424.053759999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07017962-0.07027549) × cos(0.80333110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694313263487598 × 6371000     		do = 424.078049887003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07017962-0.07027549) × cos(0.80326454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694361163378225 × 6371000     		du = 424.107306554383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80333110)-sin(0.80326454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694313263487598-0.694361163378225)×R²
    abs(0.07027549-0.07017962)×4.78998906268124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78998906268124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78998906268124e-05×40589641000000     		ar = 179838.094854007m²