Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33500 / 101654
↖ ↑ ↗
← S 69.920873°
W 87.989502°		 ← 104.86 m → S 69.920873°
W 87.986755°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.921816°
W 87.989502°		 ← 104.85 m →
10 989 m²		 S 69.921816°
W 87.986755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255588531494141 y=0.775562286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255588531494141 × 217)
    floor (0.255588531494141 × 131072)
    floor (33500.5)     		tx = 33500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775562286376953 × 217)
    floor (0.775562286376953 × 131072)
    floor (101654.5)     		ty = 101654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33500 / 101654 ti = "17/33500/101654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33500/101654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33500 ÷ 217
    33500 ÷ 131072     		x = 0.255584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101654 ÷ 217
    101654 ÷ 131072     		y = 0.775558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.48883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53570652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.551116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73138494047719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53570652} λ = -1.53570652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73138494047719))-π/2
    2×atan(0.177039051557152)-π/2
    2×0.175223440290098-π/2
    0.350446880580196-1.57079632675     		φ = -1.22034945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53570652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.989502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22034945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.920873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33500 KachelY 101654 -1.53570652 -1.22034945 -87.989502 -69.920873
    Oben rechts KachelX + 1 33501 KachelY 101654 -1.53565858 -1.22034945 -87.986755 -69.920873
    Unten links KachelX 33500 KachelY + 1 101655 -1.53570652 -1.22036590 -87.989502 -69.921816
    Unten rechts KachelX + 1 33501 KachelY + 1 101655 -1.53565858 -1.22036590 -87.986755 -69.921816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22034945--1.22036590) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22034945--1.22036590) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53570652--1.53565858) × cos(-1.22034945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		do = 104.858018923168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53570652--1.53565858) × cos(-1.22036590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343302106865108 × 6371000     		du = 104.853300032766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22034945)-sin(-1.22036590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343317557070458-0.343302106865108)×R²
    abs(-1.53565858--1.53570652)×1.54502053499872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54502053499872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54502053499872e-05×40589641000000     		ar = 10989.1824378066m²