Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 335 / 141
↖ ↑ ↗
← N 82.379148°
W121.113281°		 ← 2 592.14 m → N 82.379148°
W120.937500°		 →
↑
2 596.12 m
↓
↑
2 596.12 m
↓
N 82.355800°
W121.113281°		 ← 2 600.03 m →
6 739 749 m²		 N 82.355800°
W120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163818359375 y=0.069091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163818359375 × 211)
    floor (0.163818359375 × 2048)
    floor (335.5)     		tx = 335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.069091796875 × 211)
    floor (0.069091796875 × 2048)
    floor (141.5)     		ty = 141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 335 / 141 ti = "11/335/141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/335/141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 335 ÷ 211
    335 ÷ 2048     		x = 0.16357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 141 ÷ 211
    141 ÷ 2048     		y = 0.06884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16357421875 × 2 - 1) × π
    -0.6728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11382553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06884765625 × 2 - 1) × π
    0.8623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70901007132861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11382553} λ = -2.11382553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70901007132861))-π/2
    2×atan(15.0144049657389)-π/2
    2×1.50429184092416-π/2
    3.00858368184831-1.57079632675     		φ = 1.43778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11382553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.379148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 335 KachelY 141 -2.11382553 1.43778736 -121.113281 82.379148
    Oben rechts KachelX + 1 336 KachelY 141 -2.11075756 1.43778736 -120.937500 82.379148
    Unten links KachelX 335 KachelY + 1 142 -2.11382553 1.43737987 -121.113281 82.355800
    Unten rechts KachelX + 1 336 KachelY + 1 142 -2.11075756 1.43737987 -120.937500 82.355800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43778736-1.43737987) × R
    0.000407489999999955 × 6371000     		dl = 2596.11878999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43778736-1.43737987) × R
    0.000407489999999955 × 6371000     		dr = 2596.11878999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11382553--2.11075756) × cos(1.43778736) × R
    0.00306797000000003 × 0.132617128085192 × 6371000     		do = 2592.13927514671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11382553--2.11075756) × cos(1.43737987) × R
    0.00306797000000003 × 0.13302100784328 × 6371000     		du = 2600.03352378933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43778736)-sin(1.43737987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132617128085192-0.13302100784328)×R²
    abs(-2.11075756--2.11382553)×0.000403879758087339×R²
    0.00306797000000003×0.000403879758087339×6371000²
    0.00306797000000003×0.000403879758087339×40589641000000     		ar = 6739748.77537561m²