Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33494 / 24501
↖ ↑ ↗
← N 41.290190°
E  3.988037°		 ← 458.93 m → N 41.290190°
E  3.993530°		 →
↑
458.97 m
↓
↑
458.97 m
↓
N 41.286062°
E  3.988037°		 ← 458.96 m →
210 641 m²		 N 41.286062°
E  3.993530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511085510253906 y=0.373863220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511085510253906 × 216)
    floor (0.511085510253906 × 65536)
    floor (33494.5)     		tx = 33494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373863220214844 × 216)
    floor (0.373863220214844 × 65536)
    floor (24501.5)     		ty = 24501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33494 / 24501 ti = "16/33494/24501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33494/24501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33494 ÷ 216
    33494 ÷ 65536     		x = 0.511077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24501 ÷ 216
    24501 ÷ 65536     		y = 0.373855590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511077880859375 × 2 - 1) × π
    0.02215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06960438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373855590820312 × 2 - 1) × π
    0.252288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792588698318008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06960438} λ = 0.06960438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792588698318008))-π/2
    2×atan(2.20910774412851)-π/2
    2×1.14572304514099-π/2
    2.29144609028197-1.57079632675     		φ = 0.72064976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06960438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72064976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.290190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33494 KachelY 24501 0.06960438 0.72064976 3.988037 41.290190
    Oben rechts KachelX + 1 33495 KachelY 24501 0.06970025 0.72064976 3.993530 41.290190
    Unten links KachelX 33494 KachelY + 1 24502 0.06960438 0.72057772 3.988037 41.286062
    Unten rechts KachelX + 1 33495 KachelY + 1 24502 0.06970025 0.72057772 3.993530 41.286062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72064976-0.72057772) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dl = 458.966840000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72064976-0.72057772) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dr = 458.966840000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06960438-0.06970025) × cos(0.72064976) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.751377128684887 × 6371000     		do = 458.931960858502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06960438-0.06970025) × cos(0.72057772) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.751424663987908 × 6371000     		du = 458.96099484023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72064976)-sin(0.72057772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751377128684887-0.751424663987908)×R²
    abs(0.06970025-0.06960438)×4.7535303020485e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.7535303020485e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.7535303020485e-05×40589641000000     		ar = 210641.214758711m²