Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33493 / 24498
↖ ↑ ↗
← N 41.302571°
E  3.982544°		 ← 458.89 m → N 41.302571°
E  3.988037°		 →
↑
458.90 m
↓
↑
458.90 m
↓
N 41.298444°
E  3.982544°		 ← 458.92 m →
210 594 m²		 N 41.298444°
E  3.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511070251464844 y=0.373817443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511070251464844 × 216)
    floor (0.511070251464844 × 65536)
    floor (33493.5)     		tx = 33493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373817443847656 × 216)
    floor (0.373817443847656 × 65536)
    floor (24498.5)     		ty = 24498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33493 / 24498 ti = "16/33493/24498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33493/24498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33493 ÷ 216
    33493 ÷ 65536     		x = 0.511062622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24498 ÷ 216
    24498 ÷ 65536     		y = 0.373809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511062622070312 × 2 - 1) × π
    0.022125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06950850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373809814453125 × 2 - 1) × π
    0.25238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792876319715729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06950850} λ = 0.06950850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792876319715729))-π/2
    2×atan(2.20974322216975)-π/2
    2×1.14583109095627-π/2
    2.29166218191254-1.57079632675     		φ = 0.72086586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06950850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.982544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72086586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.302571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33493 KachelY 24498 0.06950850 0.72086586 3.982544 41.302571
    Oben rechts KachelX + 1 33494 KachelY 24498 0.06960438 0.72086586 3.988037 41.302571
    Unten links KachelX 33493 KachelY + 1 24499 0.06950850 0.72079383 3.982544 41.298444
    Unten rechts KachelX + 1 33494 KachelY + 1 24499 0.06960438 0.72079383 3.988037 41.298444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72086586-0.72079383) × R
    7.20300000000007e-05 × 6371000     		dl = 458.903130000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72086586-0.72079383) × R
    7.20300000000007e-05 × 6371000     		dr = 458.903130000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06950850-0.06960438) × cos(0.72086586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751234512580712 × 6371000     		do = 458.892713836971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06950850-0.06960438) × cos(0.72079383) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751282052980501 × 6371000     		du = 458.921753960542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72086586)-sin(0.72079383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751234512580712-0.751282052980501)×R²
    abs(0.06960438-0.06950850)×4.75403997896029e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75403997896029e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75403997896029e-05×40589641000000     		ar = 210593.966106747m²