Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33489 / 24505
↖ ↑ ↗
← N 41.273678°
E  3.960571°		 ← 459.05 m → N 41.273678°
E  3.966064°		 →
↑
459.09 m
↓
↑
459.09 m
↓
N 41.269550°
E  3.960571°		 ← 459.08 m →
210 753 m²		 N 41.269550°
E  3.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511009216308594 y=0.373924255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511009216308594 × 216)
    floor (0.511009216308594 × 65536)
    floor (33489.5)     		tx = 33489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373924255371094 × 216)
    floor (0.373924255371094 × 65536)
    floor (24505.5)     		ty = 24505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33489 / 24505 ti = "16/33489/24505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33489/24505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33489 ÷ 216
    33489 ÷ 65536     		x = 0.511001586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24505 ÷ 216
    24505 ÷ 65536     		y = 0.373916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511001586914062 × 2 - 1) × π
    0.022003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06912501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373916625976562 × 2 - 1) × π
    0.252166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.792205203121048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06912501} λ = 0.06912501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792205203121048))-π/2
    2×atan(2.20826072434346)-π/2
    2×1.14557895215226-π/2
    2.29115790430452-1.57079632675     		φ = 0.72036158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06912501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.960571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72036158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.273678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33489 KachelY 24505 0.06912501 0.72036158 3.960571 41.273678
    Oben rechts KachelX + 1 33490 KachelY 24505 0.06922088 0.72036158 3.966064 41.273678
    Unten links KachelX 33489 KachelY + 1 24506 0.06912501 0.72028952 3.960571 41.269550
    Unten rechts KachelX + 1 33490 KachelY + 1 24506 0.06922088 0.72028952 3.966064 41.269550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72036158-0.72028952) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dl = 459.09425999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72036158-0.72028952) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dr = 459.09425999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06912501-0.06922088) × cos(0.72036158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751567259690822 × 6371000     		do = 459.048090551558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06912501-0.06922088) × cos(0.72028952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751614792584467 × 6371000     		du = 459.077123061669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72036158)-sin(0.72028952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751567259690822-0.751614792584467)×R²
    abs(0.06922088-0.06912501)×4.7532893644342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7532893644342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7532893644342e-05×40589641000000     		ar = 210753.007856445m²