Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33485 / 101485
↖ ↑ ↗
← S 69.760907°
W 88.030701°		 ← 105.66 m → S 69.760907°
W 88.027954°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.761857°
W 88.030701°		 ← 105.65 m →
11 161 m²		 S 69.761857°
W 88.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255474090576172 y=0.774272918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255474090576172 × 217)
    floor (0.255474090576172 × 131072)
    floor (33485.5)     		tx = 33485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774272918701172 × 217)
    floor (0.774272918701172 × 131072)
    floor (101485.5)     		ty = 101485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33485 / 101485 ti = "17/33485/101485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33485/101485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33485 ÷ 217
    33485 ÷ 131072     		x = 0.255470275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101485 ÷ 217
    101485 ÷ 131072     		y = 0.774269104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255470275878906 × 2 - 1) × π
    -0.489059448242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.53642557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774269104003906 × 2 - 1) × π
    -0.548538208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.7232836044414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53642557} λ = -1.53642557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7232836044414))-π/2
    2×atan(0.178479129807971)-π/2
    2×0.176619408126664-π/2
    0.353238816253328-1.57079632675     		φ = -1.21755751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53642557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.030701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21755751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.760907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33485 KachelY 101485 -1.53642557 -1.21755751 -88.030701 -69.760907
    Oben rechts KachelX + 1 33486 KachelY 101485 -1.53637763 -1.21755751 -88.027954 -69.760907
    Unten links KachelX 33485 KachelY + 1 101486 -1.53642557 -1.21757409 -88.030701 -69.761857
    Unten rechts KachelX + 1 33486 KachelY + 1 101486 -1.53637763 -1.21757409 -88.027954 -69.761857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21755751--1.21757409) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21755751--1.21757409) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53642557--1.53637763) × cos(-1.21755751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345938459769146 × 6371000     		do = 105.658510069382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53642557--1.53637763) × cos(-1.21757409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345922903417145 × 6371000     		du = 105.653758759061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21755751)-sin(-1.21757409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345938459769146-0.345922903417145)×R²
    abs(-1.53637763--1.53642557)×1.5556352000845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5556352000845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5556352000845e-05×40589641000000     		ar = 11160.5821526463m²