Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33472 / 24512
↖ ↑ ↗
← N 41.244773°
E  3.867187°		 ← 459.30 m → N 41.244773°
E  3.872681°		 →
↑
459.29 m
↓
↑
459.29 m
↓
N 41.240642°
E  3.867187°		 ← 459.33 m →
210 956 m²		 N 41.240642°
E  3.872681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510749816894531 y=0.374031066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510749816894531 × 216)
    floor (0.510749816894531 × 65536)
    floor (33472.5)     		tx = 33472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374031066894531 × 216)
    floor (0.374031066894531 × 65536)
    floor (24512.5)     		ty = 24512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33472 / 24512 ti = "16/33472/24512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33472/24512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33472 ÷ 216
    33472 ÷ 65536     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24512 ÷ 216
    24512 ÷ 65536     		y = 0.3740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791534086526367))-π/2
    2×atan(2.20677922111228)-π/2
    2×1.14532670170008-π/2
    2.29065340340016-1.57079632675     		φ = 0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33472 KachelY 24512 0.06749515 0.71985708 3.867187 41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 33473 KachelY 24512 0.06759103 0.71985708 3.872681 41.244773
    Unten links KachelX 33472 KachelY + 1 24513 0.06749515 0.71978499 3.867187 41.240642
    Unten rechts KachelX + 1 33473 KachelY + 1 24513 0.06759103 0.71978499 3.872681 41.240642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71985708-0.71978499) × R
    7.20900000000801e-05 × 6371000     		dl = 459.285390000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71985708-0.71978499) × R
    7.20900000000801e-05 × 6371000     		dr = 459.285390000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.06759103) × cos(0.71985708) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 459.299203817507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.06759103) × cos(0.71978499) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751947486060397 × 6371000     		du = 459.328234742238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71985708)-sin(0.71978499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751947486060397)×R²
    abs(0.06759103-0.06749515)×4.75253407440368e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75253407440368e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75253407440368e-05×40589641000000     		ar = 210956.080783485m²