Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33471 / 24515
↖ ↑ ↗
← N 41.232380°
E  3.861694°		 ← 459.34 m → N 41.232380°
E  3.867187°		 →
↑
459.35 m
↓
↑
459.35 m
↓
N 41.228249°
E  3.861694°		 ← 459.37 m →
211 003 m²		 N 41.228249°
E  3.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510734558105469 y=0.374076843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510734558105469 × 216)
    floor (0.510734558105469 × 65536)
    floor (33471.5)     		tx = 33471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374076843261719 × 216)
    floor (0.374076843261719 × 65536)
    floor (24515.5)     		ty = 24515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33471 / 24515 ti = "16/33471/24515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33471/24515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33471 ÷ 216
    33471 ÷ 65536     		x = 0.510726928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24515 ÷ 216
    24515 ÷ 65536     		y = 0.374069213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510726928710938 × 2 - 1) × π
    0.021453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06739928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.374069213867188 × 2 - 1) × π
    0.251861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.791246465128647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06739928} λ = 0.06739928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791246465128647))-π/2
    2×atan(2.20614459545858)-π/2
    2×1.14521856018909-π/2
    2.29043712037817-1.57079632675     		φ = 0.71964079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06739928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.861694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71964079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.232380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33471 KachelY 24515 0.06739928 0.71964079 3.861694 41.232380
    Oben rechts KachelX + 1 33472 KachelY 24515 0.06749515 0.71964079 3.867187 41.232380
    Unten links KachelX 33471 KachelY + 1 24516 0.06739928 0.71956869 3.861694 41.228249
    Unten rechts KachelX + 1 33472 KachelY + 1 24516 0.06749515 0.71956869 3.867187 41.228249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71964079-0.71956869) × R
    7.21000000000194e-05 × 6371000     		dl = 459.349100000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71964079-0.71956869) × R
    7.21000000000194e-05 × 6371000     		dr = 459.349100000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06739928-0.06749515) × cos(0.71964079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752042538200388 × 6371000     		do = 459.338384852545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06739928-0.06749515) × cos(0.71956869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752090058406369 × 6371000     		du = 459.367409613186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71964079)-sin(0.71956869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752042538200388-0.752090058406369)×R²
    abs(0.06749515-0.06739928)×4.75202059810886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75202059810886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75202059810886e-05×40589641000000     		ar = 211003.340017497m²