Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3347 / 949
↖ ↑ ↗
← N 79.773365°
W 32.915039°		 ← 867.57 m → N 79.773365°
W 32.871093°		 →
↑
867.92 m
↓
↑
867.92 m
↓
N 79.765560°
W 32.915039°		 ← 868.23 m →
753 267 m²		 N 79.765560°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40863037109375 y=0.11590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40863037109375 × 213)
    floor (0.40863037109375 × 8192)
    floor (3347.5)     		tx = 3347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11590576171875 × 213)
    floor (0.11590576171875 × 8192)
    floor (949.5)     		ty = 949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3347 / 949 ti = "13/3347/949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3347/949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3347 ÷ 213
    3347 ÷ 8192     		x = 0.4085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 949 ÷ 213
    949 ÷ 8192     		y = 0.1158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1158447265625 × 2 - 1) × π
    0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57447581} λ = -0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41371876966907))-π/2
    2×atan(11.1754428647436)-π/2
    2×1.48155210109207-π/2
    2.96310420218414-1.57079632675     		φ = 1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3347 KachelY 949 -0.57447581 1.39230788 -32.915039 79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 3348 KachelY 949 -0.57370881 1.39230788 -32.871093 79.773365
    Unten links KachelX 3347 KachelY + 1 950 -0.57447581 1.39217165 -32.915039 79.765560
    Unten rechts KachelX + 1 3348 KachelY + 1 950 -0.57370881 1.39217165 -32.871093 79.765560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39230788-1.39217165) × R
    0.000136229999999848 × 6371000     		dl = 867.921329999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39230788-1.39217165) × R
    0.000136229999999848 × 6371000     		dr = 867.921329999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57447581--0.57370881) × cos(1.39230788) × R
    0.000767000000000073 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 867.570262875931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57447581--0.57370881) × cos(1.39217165) × R
    0.000767000000000073 × 0.177676301473069 × 6371000     		du = 868.225374697416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39230788)-sin(1.39217165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177676301473069)×R²
    abs(-0.57370881--0.57447581)×0.000134064090828168×R²
    0.000767000000000073×0.000134064090828168×6371000²
    0.000767000000000073×0.000134064090828168×40589641000000     		ar = 753267.030347923m²