Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33463 / 101449
↖ ↑ ↗
← S 69.726674°
W 88.091125°		 ← 105.83 m → S 69.726674°
W 88.088379°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
S 69.727625°
W 88.091125°		 ← 105.82 m →
11 199 m²		 S 69.727625°
W 88.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255306243896484 y=0.773998260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255306243896484 × 217)
    floor (0.255306243896484 × 131072)
    floor (33463.5)     		tx = 33463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773998260498047 × 217)
    floor (0.773998260498047 × 131072)
    floor (101449.5)     		ty = 101449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33463 / 101449 ti = "17/33463/101449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33463/101449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33463 ÷ 217
    33463 ÷ 131072     		x = 0.255302429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101449 ÷ 217
    101449 ÷ 131072     		y = 0.773994445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255302429199219 × 2 - 1) × π
    -0.489395141601562 × 3.1415926535     		Λ = -1.53748018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773994445800781 × 2 - 1) × π
    -0.547988891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72155787605508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53748018} λ = -1.53748018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72155787605508))-π/2
    2×atan(0.178787402229375)-π/2
    2×0.176918147809403-π/2
    0.353836295618805-1.57079632675     		φ = -1.21696003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53748018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.091125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21696003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.726674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33463 KachelY 101449 -1.53748018 -1.21696003 -88.091125 -69.726674
    Oben rechts KachelX + 1 33464 KachelY 101449 -1.53743224 -1.21696003 -88.088379 -69.726674
    Unten links KachelX 33463 KachelY + 1 101450 -1.53748018 -1.21697664 -88.091125 -69.727625
    Unten rechts KachelX + 1 33464 KachelY + 1 101450 -1.53743224 -1.21697664 -88.088379 -69.727625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21696003--1.21697664) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21696003--1.21697664) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53748018--1.53743224) × cos(-1.21696003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346498987903458 × 6371000     		do = 105.829709789595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53748018--1.53743224) × cos(-1.21697664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346483406839416 × 6371000     		du = 105.82495093158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21696003)-sin(-1.21697664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346498987903458-0.346483406839416)×R²
    abs(-1.53743224--1.53748018)×1.55810640422027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55810640422027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55810640422027e-05×40589641000000     		ar = 11198.8925600626m²