Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33460 / 24508
↖ ↑ ↗
← N 41.261291°
E  3.801270°		 ← 459.14 m → N 41.261291°
E  3.806763°		 →
↑
459.16 m
↓
↑
459.16 m
↓
N 41.257162°
E  3.801270°		 ← 459.16 m →
210 822 m²		 N 41.257162°
E  3.806763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510566711425781 y=0.373970031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510566711425781 × 216)
    floor (0.510566711425781 × 65536)
    floor (33460.5)     		tx = 33460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373970031738281 × 216)
    floor (0.373970031738281 × 65536)
    floor (24508.5)     		ty = 24508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33460 / 24508 ti = "16/33460/24508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33460/24508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33460 ÷ 216
    33460 ÷ 65536     		x = 0.51055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24508 ÷ 216
    24508 ÷ 65536     		y = 0.37396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51055908203125 × 2 - 1) × π
    0.0211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06634467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791917581723328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06634467} λ = 0.06634467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791917581723328))-π/2
    2×atan(2.207625672639)-π/2
    2×1.14547085848596-π/2
    2.29094171697191-1.57079632675     		φ = 0.72014539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06634467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.801270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72014539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.261291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33460 KachelY 24508 0.06634467 0.72014539 3.801270 41.261291
    Oben rechts KachelX + 1 33461 KachelY 24508 0.06644054 0.72014539 3.806763 41.261291
    Unten links KachelX 33460 KachelY + 1 24509 0.06634467 0.72007332 3.801270 41.257162
    Unten rechts KachelX + 1 33461 KachelY + 1 24509 0.06644054 0.72007332 3.806763 41.257162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72014539-0.72007332) × R
    7.20699999999797e-05 × 6371000     		dl = 459.15796999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72014539-0.72007332) × R
    7.20699999999797e-05 × 6371000     		dr = 459.15796999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06634467-0.06644054) × cos(0.72014539) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.751709853257845 × 6371000     		do = 459.135184958443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06634467-0.06644054) × cos(0.72007332) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.751757381036002 × 6371000     		du = 459.164214344077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72014539)-sin(0.72007332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751709853257845-0.751757381036002)×R²
    abs(0.06644054-0.06634467)×4.7527778156975e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.7527778156975e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.7527778156975e-05×40589641000000     		ar = 210822.244108856m²