Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33460 / 101675
↖ ↑ ↗
← S 69.940665°
W 88.099365°		 ← 104.74 m → S 69.940665°
W 88.096619°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.941607°
W 88.099365°		 ← 104.73 m →
10 970 m²		 S 69.941607°
W 88.096619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255283355712891 y=0.775722503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255283355712891 × 217)
    floor (0.255283355712891 × 131072)
    floor (33460.5)     		tx = 33460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775722503662109 × 217)
    floor (0.775722503662109 × 131072)
    floor (101675.5)     		ty = 101675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33460 / 101675 ti = "17/33460/101675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33460/101675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33460 ÷ 217
    33460 ÷ 131072     		x = 0.255279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101675 ÷ 217
    101675 ÷ 131072     		y = 0.775718688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.48944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53762399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775718688964844 × 2 - 1) × π
    -0.551437377929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73239161536921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53762399} λ = -1.53762399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73239161536921))-π/2
    2×atan(0.176860920464135)-π/2
    2×0.175050717376037-π/2
    0.350101434752075-1.57079632675     		φ = -1.22069489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53762399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22069489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.940665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33460 KachelY 101675 -1.53762399 -1.22069489 -88.099365 -69.940665
    Oben rechts KachelX + 1 33461 KachelY 101675 -1.53757606 -1.22069489 -88.096619 -69.940665
    Unten links KachelX 33460 KachelY + 1 101676 -1.53762399 -1.22071133 -88.099365 -69.941607
    Unten rechts KachelX + 1 33461 KachelY + 1 101676 -1.53757606 -1.22071133 -88.096619 -69.941607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22069489--1.22071133) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22069489--1.22071133) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53762399--1.53757606) × cos(-1.22069489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342993092648382 × 6371000     		do = 104.737067047152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53762399--1.53757606) × cos(-1.22071133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342977649886536 × 6371000     		du = 104.732351414046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22069489)-sin(-1.22071133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342993092648382-0.342977649886536)×R²
    abs(-1.53757606--1.53762399)×1.54427618465069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54427618465069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54427618465069e-05×40589641000000     		ar = 10969.8338466753m²