Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3345 / 1427
↖ ↑ ↗
← N 47.813154°
E113.994141°		 ← 6 563.05 m → N 47.813154°
E114.082031°		 →
↑
6 566.78 m
↓
↑
6 566.78 m
↓
N 47.754098°
E113.994141°		 ← 6 570.51 m →
43 122 636 m²		 N 47.754098°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8167724609375 y=0.3485107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8167724609375 × 212)
    floor (0.8167724609375 × 4096)
    floor (3345.5)     		tx = 3345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3485107421875 × 212)
    floor (0.3485107421875 × 4096)
    floor (1427.5)     		ty = 1427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3345 / 1427 ti = "12/3345/1427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3345/1427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3345 ÷ 212
    3345 ÷ 4096     		x = 0.816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1427 ÷ 212
    1427 ÷ 4096     		y = 0.348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816650390625 × 2 - 1) × π
    0.63330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98957308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348388671875 × 2 - 1) × π
    0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98957308} λ = 1.98957308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952602069249756))-π/2
    2×atan(2.59244661612202)-π/2
    2×1.20264664943614-π/2
    2.40529329887227-1.57079632675     		φ = 0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98957308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3345 KachelY 1427 1.98957308 0.83449697 113.994141 47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 3346 KachelY 1427 1.99110706 0.83449697 114.082031 47.813154
    Unten links KachelX 3345 KachelY + 1 1428 1.98957308 0.83346624 113.994141 47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 3346 KachelY + 1 1428 1.99110706 0.83346624 114.082031 47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83449697-0.83346624) × R
    0.00103072999999998 × 6371000     		dl = 6566.78082999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83449697-0.83346624) × R
    0.00103072999999998 × 6371000     		dr = 6566.78082999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98957308-1.99110706) × cos(0.83449697) × R
    0.00153398000000005 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 6563.0539471962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98957308-1.99110706) × cos(0.83346624) × R
    0.00153398000000005 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 6570.51436754921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83449697)-sin(0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.672313863706238)×R²
    abs(1.99110706-1.98957308)×0.000763371594951323×R²
    0.00153398000000005×0.000763371594951323×6371000²
    0.00153398000000005×0.000763371594951323×40589641000000     		ar = 43122636.137189m²